Luogu P1445 樱花

题目大意

　　输入一个整数$n$（$1 leqslant n leqslant 10^{6}$）求不定方程：$frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{n!}$ 的正整数解$(x,y)$的数目，答案对$10^{9} + 7$取模。

题解

　　我们处理一下等式。

　　$$egin{align*} frac{1}{x} + frac{1}{y} &= frac{1}{n!} \ frac{x + y}{xy} &= frac{1}{n!} \ frac{xy}{x + y} &= n! \ xy &= xn! + yn! \ xy - xn! - yn! + (n!)^{2} &= (n!)^{2} \ (x - n!)(y - n!) &= (n!)^2end{align*}$$

　　我们设$a = (x - n!)$，$b = (y - n!)$，$c = (n!)^{2}$，则有$ab = c$。

　　所以$(a,b)$的解数实际就是$(x,y)$的解数。

　　我们设$(a,b)$的解数为$ans$。

　　我们设有质数集合${ p_{i} | p_{i} in [1,n]}$，质数数为$tot$。

        我们可以设

　　$$c = prod_{i = 1}^{tot} p_{i}^{t_{i}}$$

　　根据$ab = c$，可以得到

　　$$left { egin{align*} a &= prod_{i = 1}^{tot} p_{i}^{g_{i}} \ b &= prod_{i = 1}^{tot} p_{i}^{t_{i} - g_{i}} end{align*} ight.$$

　　显然$0 leqslant g_{i} leqslant t_{i}$，所以对于每个$g_{i}$的取值数为$t_{i} + 1$，我们可以得到

　　$$ans = prod_{i=1}^{tot} ( t_{i} + 1 )$$

　　所以我们只需要用欧拉筛求出${ p_{i} }$，再暴力求${ t_{i} }$，直接求解即可。

#include <iostream>

#define MAX_N (1000000 + 5)

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
int n;
int p[MAX_N], tot;
bool f[MAX_N];
int ans = 1;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if(!f[i]) p[++tot] = i;
        for(int j = 1; i * p[j] <= n; ++j)
        {
            f[i * p[j]] = true;
            if(!(i % p[j])) break;
        }
    }
    int cnt;
    for(int i = 1; i <= tot; ++i)
    {
        cnt = 0;
        for(long long j = p[i]; j <= n; j *= p[i])
        {
            cnt = (cnt + (n / j)) % mod;
        }
        ans = (long long)ans * (cnt << 1 | 1) % mod;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

        这里还有一种思路，更像是初中数学题（最后代码是一样的）。

        $$ecause frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{n!} \ herefore frac{1}{x} < frac{1}{n! }, frac{1}{y} < frac{1}{n!} \ herefore x > n! , y > n!$$

        我们设$y = n!  + k$，则有

        $$egin{align*} frac{1}{x} + frac{1}{n! + k} &= frac{1}{n!} \ frac{x + n! + k}{x(n!  + k)} &= frac{1}{n!} \ frac{x(n! + k)}{x + n! + k} &= n!  \ x(n! + k) &= xn!  + (n!)^{2}+ kn! \ xk &= (n!)^{2} + kn!  \ x &= frac{(n!)^{2}}{k} + n! end{align*}$$

         显然$n!$为整数，而$frac{(n!)^{2}}{k}$也应为整数，所以$k|(n!)^{2}$，我们只需要求出$k$的取值数，也就是$(n!)^{2}$的约数数。剩下的就和上面的代码一样了。