【题解】求和

题目描述

        一条狭长的纸带被均匀划分出了n个格子，格子编号从1到n。每个格子上都染了一种颜色colori（用[1，m]当中的一个整数表示），并且写了一个数字numberi。

        定义一种特殊的三元组：（x，y，z），其中x，y，z都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：

        1、x，y，z都是整数，x＜y＜z，y-x=z-y；

        2、colorx=colorz；

        满足上述条件的三元组的分数规定为（x+z）×（numberx+numberz）。整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分数除以10007所得的余数即可。

输入格式

        第一行是用一个空格隔开的两个正整数n和m，n代表纸带上格子的个数，m代表纸带上颜色的种类数。

        第二行有n个用空格隔开的正整数，第i个数字numberi代表纸带上编号为i的格子上面写的数字。

输出格式

        共一行，一个整数，表示所求的纸带分数除以10007所得的余数。

输入样例

6 2

5 5 3 2 2 2

2 2 1 1 2 1

输出样例

82

 

数据规模

        对于全部10组数据，1≤n≤100000，1≤m≤100000，1≤colori≤m，1≤numberi≤100000。

题解

        其实这种题关键是要拿出笔来推一下，拆一拆并一并，整理完之后其实就很简单了。

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        （提前声明，这里为了方便，用$a$表示$number$，用$b$表示$color$）

        观察题目，我们可以把条件一转换成$x$和$z$的奇偶性相同。

        又有条件二要求$b[x] = b[z]$。

        此时我们先设一个$x$，现在我们要求满足上面条件的有关$x$的三元组的和，又设这些三元组的数量为$cnt$，得到：

        $$egin{align*} sum_{i = 1}^{cnt}(x,  y_{i},  z_{i}) &= sum_{i = 1}^{cnt}(x + z_{i}) imes (a[x] + a[z_{i}]) \ &= sum_{i = 1}^{cnt} x imes a[x] + x imes a[z_{i}] + z_{i} imes a[x] + z_{i} imes a[z_{i}] end{align*}$$

        我们又设$sum = a[x] + sum_{i = 1}^{cnt} a[z_{i}]$，可以看出，对于$x$有关的部分也就是：

        $$ sum_{i = 1}^{cnt}x imes a[x] + x imes a[z_{i}] = x imes sum + x imes a[x] imes (cnt - 1) $$

        对于每一个$x$，我们都可以预处理出对应的$cnt$和$sum$，直接求解就行了。具体细节可以看下面的代码。

#include <cstdio>

#define MAX_N 1000000
#define MAX_M 1000000
#define MOD 10007

using namespace std;

int n, m;
int a[MAX_N | 1];
int b[MAX_N | 1];
int c[MAX_M << 1 | 1];
int s[MAX_M << 1 | 1];
int ans;

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(register int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for(register int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &b[i]);
        ++c[b[i] + m * (i & 1)];
        s[b[i] + m * (i & 1)] += a[i];
        s[b[i] + m * (i & 1)] %= MOD;
    }
    for(register int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        ans += (long long)i * a[i] * (c[b[i] + m * (i & 1)] - 2) % MOD;
        ans += (long long)i * s[b[i] + m * (i & 1)] % MOD;
        ans %= MOD;
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}