GHOJ 473 老虎的数字游戏

题目描述

　　飞镖游戏虽好玩，但小老虎不忘考考同学的数学能力，为了好玩和不大难，小老虎想就用5个阿拉伯数吧。1、2、3、4、5数字组成一个N位的数（可以重复使用，也可以不用），有多少个数I，满足Imod3=1。

 

输入格式

　　一行，为1个整数N。

输出格式

　　一个数，即满足要求的数的个数mod100007。

输入样例

4

输出样例

208

数据规模

　　对于30%的数据，N≤8；

　　对于100%的数据，N≤1000000。

题解

　　相信大家小学都学过。一个数$mod 3$等于这个数的各位数字之和$mod 3$。

　　假设我们已经得到了一个$i$位的满足题目要求的数，这个时候，我们在$i+1$为添加$3$，一定还能满足题目要求。

　　但是，如果不添加$3$呢？

　　这里我们可以列举出来：

　　(1)当第$i$位为$1$时，我们可以改成$[2,2],[2,5],[3,1],[3,4],[5,2],[5,5]$（这里$[x,y]$表示第$i$位改成$x$，第$i+1$位添上$y$，下同）。共$6$种情况。

　　(2)当第$i$位为$2$时，我们可以改成$[1,1],[1,4],[3,2],[3,5],[4,1],[4,4]$。共$6$种情况。

　　(3)当第$i$位为$3$时，我们可以改成$[1,2],[1,5],[2,1],[2,4],[4,2],[4,5],[5,1],[5,4]$。共$8$种情况。

　　(4)当第$i$位为$4$时，我们可以改成$[2,2],[2,5],[3,1],[3,4],[5,2],[5,5]$。共$6$种情况。

　　(5)当第$i$位为$5$时，我们可以改成$[1,1],[1,4],[3,2],[3,5],[4,1],[4,4]$。共$6$种情况。

　　观察(1)(2)与(4)(5)其实是一样的，那我们将数量除以$2$即可。

　　我们可以设$c[i][0]$为第$i$位为$3$的符合题目要求的数量，$c[i][1]$为第$i$位不为$3$的符合题目要求的数量。

　　根据上面的方程可得，$c[i][0] = c[i - 1][0] + c[i - 1][1], c[i][1] = c[i - 1][0] imes 8 + c[i - 1][1] imes 3$。这里可以用滚动数组优化。

#include <iostream>
#define MOD 100007

using namespace std;

int n;
int prev[2], now[2]; //最高位为3或不为3的符合条件的情况

int main()
{
    cin >> n;
    now[1] = 2;
    while(--n)
    {
        prev[0] = now[0];
        prev[1] = now[1];
        now[0] = (prev[0] + prev[1]) % MOD;
        now[1] = (prev[0] * 8 + prev[1] * 3) % MOD;
    }
    cout << (now[0] + now[1]) % MOD;