子矩阵

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式：

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出样例#1： 复制

6

输入样例#2： 复制

7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2： 复制

16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

【题解】

具体思路就是先枚举行，然后进行DP。

方程可以是这样:$f(i,j)$表示前i个选j且选了i列的最小分数

那么$f(i,j)=min{f(i,j),f(k,j-1)|kin [1,i-1]}$

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,r,c,xz[20]= {0},a[20][20],w[20],f[20][20],s[20]= {0},ans=0x3f3f3f3f;

void judge() {
    memset(w,0,sizeof(w));
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1; i<=m; i++)
        for(int j=1; j<r; j++)
            w[i]+=abs(a[xz[j]][i]-a[xz[j+1]][i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        f[i][1]=w[i];
    for(int i=1; i<=m; i++)
        for(int j=2; j<=c; j++)
            for(int k=1; k<i; k++) {
                int t=0;
                for(int l=1; l<=r; l++)
                    t+=abs(a[xz[l]][i]-a[xz[l]][k]);
                f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+w[i]+t);
            }
    for(int i=c; i<=m; i++)
        ans=min(ans,f[i][c]);
}

void dfs(int x,int pre) {
    if(x>r)
        judge();
    else
        for(int i=pre+1; i<=n; i++) {
            xz[x]=i;
            dfs(x+1,i);
        }
}

int main() {
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int j=1; j<=m; j++)
        for(int i=1; i<=n; i++)
            s[j]+=a[i][j];
    dfs(1,0);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}