树的重量

题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树，其叶节点表示一个物种，两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在，一个重要的问题是，根据物种之间的距离，重构相应的“进化树”。

令N={1..n}，用一个N上的矩阵M来定义树T。其中，矩阵M满足：对于任意的i，j，k，有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足：

1．叶节点属于集合N；

2．边权均为非负整数；

3．dT(i,j)=M[i,j]，其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图，矩阵M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M，它所能表示树的重量是惟一确定的，不可能找到两棵不同重量的树，它们都符合矩阵M。你的任务就是，根据给出的矩阵M，计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树，这棵树的总重量为15。

输入输出格式

输入格式：

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-l行，给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线)，矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以n=0结尾。

输出格式：

对于每组输入，输出一行，一个整数，表示树的重量。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0

输出样例#1： 复制

15
71

[转载]https://www.cnblogs.com/Chuckqgz/p/5644306.html

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这道题费了我不少心思= =其实思路和标称毫无差别，但是由于不习惯ACM风格的题目，没有打答案之间的换行，wa了好几次

解决所有“构造”问题都要按照如下的步骤：

1. 寻找特例、特征
2. 建立模型
3. 一般化模型

• 寻找特例

(1) 我们假设结点数为1，显然答案为0，因为这棵树的边集为空。

(2) 当结点数为2时，答案就是d[1][2]，即(1,2)的距离。

(3) 当结点数为3时呢？明显(1,3)和(2,3)这两条边有重叠的部分，那重叠的部分是几呢？

如图所示，(1,3)和(2,3)的重叠部分，记作l，其值为$(8+9-5)/2=6。

• 建立模型
  还是结点数为3的情况，这次把d[1][2],d[1][3],d[2][3]分别设为x,y,z，那么(1,3)和(1,2)的“重叠”部分就应该是(y+z−x)/2(y+z−x)/2

• 一般化模型
  如果结点数为四呢？
  

如图，只要求出红色的部分就可以了。
至于红色的部分怎么求，详细请见代码