二分图点覆盖数就是二分图最大匹配数的证明过程的原文地址如下：
http://www.matrix67.com/blog/archives/116
然后为了便于注解，将原文复制在下面：
“ König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如，下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道，但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此，我在这里写一下这个定理的证明，希望对大家有所帮助。”
“假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。
匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走出的路径是很多条不完整的增广路）。那么这些点组成了最小覆盖点集：右边所有没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点。看图，右图中展示了两条这样的路径，标记了一共6个点（用 “√”表示）。那么，用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。”
注解：这里划线部分的意思就是：由于已经找到了最大匹配，因此从一个右边的非匹配点，以第一条非匹配边为起点找交错路径，找到最后的一条边，一定是匹配边，否则，这条交错路径就是新的增广路径，与当前已经是最大匹配矛盾。既然最后一条边是匹配边，第一条边是非匹配边，所以该交错路径长度定是偶数，且最后一条边是左走向右的（因为第一条边是右向左走的），所以整个找寻路径的特征是1，长度是偶数； 2，第一条是非匹配边，3，第奇数条边是非匹配且是右走向左；4，第偶数条边是匹配且是左走向右。
首先，为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢？答案很简单，因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以经过这条边到达了）。因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
注解：M条匹配边要一些顶点来分别代表，代表一条匹配边的顶点只能是左边或者右边的，如果一个右边的顶点被标记，则右边的顶点就不可以代表一条匹配边，这里要分成两种情况：1，右边的顶点本来就不在匹配边上，当然其不能代表，这里找”失败增广路径“的起点就是这样的右点，所以，标记其不让其代笔匹配边；2，其是在匹配边的右段点，但此时其左端点一定已经标记，该匹配边已经被左端点代表，无须右端点来重复代表，于是这里的右点又是标记了的。这里之所以说左端点已经标记了，是因为：该边是匹配点，该右点是匹配点，所以不可能作为起点，而之所以走到了它，是因为从左边走了一条匹配边过来，所有左端点是标记了的；所以左点标记了的话就意味着其且沿着找寻路径，一定要往右走去标记右点以取消右点的重复代表，最终达到其左点独占试代表了一条匹配表。
如果一个右边的顶点没有被标记，则右边的顶点就可以代表一条匹配边，这样的右点有这样的特征：1，其当然是匹配点，否则，其可以作为找”失败增广路径“的起点而被标记，这就说明其可以代表一条匹配边，2，其当然没有出现在找”失败增广路径“的找寻路径上，否则其一定被标记，这是废话，所以其代表的左点一定没有标记，这样左点通过”没标记的“方式”不代表“该匹配边，右点就”没标记“方式独占试地代表了该匹配边。这里说左点一定没有标记的原因是：如果左点标记了话，该边又是匹配边，所以走点就会沿着该匹配边走到右点，将右点标记。
所以右边所有没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点能和匹配边一一代表。
其次，为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢？答案同样简单。不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的。原因如下：如果这条边不属于我们的匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果这条边属于我们的匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的（想想匹配的定义），左端点就应该有标记。
注解：所有的边可以分成4类：
a,左边标记了， 右边没有标记。
b,左边没有标记，右边没有标记。
c,左边标记了， 右边有标记。
d,左边没有标记， 右边有标记。
从文中划线部分的”不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的“可知，d是不可能的。而剩下的a c这两种被左边标记了的点覆盖，而b被右边没有标记的点覆盖
最后，为什么这是最小的点覆盖集呢？这当然是最小的，不可能有比M还小的点覆盖集了，因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点（再次回到匹配的定义）。
证完了。