[国家集训队]等差子序列 题解

题面

我们寻找一个东西总是比判断一个东西复杂，对吧；

那么就转化思路：如果我们知道等差数列的中间项mid，那么就是寻找一对数(l,r)，使得abs(mid-l)==abs(mid-r),且l<mid<r;

可以枚举每个数作为中间项，然后O(n)的判断是否存在这样的数对(l,r);

但这是O(n^2)的，复杂度无法接受；

那么考虑优化：

我们知道，对于每次枚举只要有一个数对就存在答案；

对于已经枚举过的点，标记为1；否则是0；

这样序列就变成了一个01序列；

对于每个中间项，存在答案当且仅当左右的一个对称位置的01数值不同；

也就是说：对于每个中间项只有左右两侧的序列的hash值只有在完全相同的情况下才不存在解；

hash值可以使用树状数组或者线段树来维护；

复杂度变成了O(nlogn);

#include <bits/stdc++.h>
#define inc(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
#define ull unsigned long long
using namespace std;
int a[100010];
ull hash1[100010],hash2[100010],pre[100010];
const int p=1e9+7;
int n;
class node{
    public:
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void adda(int x,ull v){while(x<=n) hash1[x]+=v,x+=lowbit(x);}
    void addb(int x,ull v){while(x<=n) hash2[x]+=v,x+=lowbit(x);}
    ull aska(int x){ull sum=0;while(x) sum+=hash1[x],x-=lowbit(x);return sum;}
    ull askb(int x){ull sum=0;while(x) sum+=hash2[x],x-=lowbit(x);return sum;}
}tree;
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        memset(hash1,0,sizeof(hash1));
        memset(hash2,0,sizeof(hash2));
        scanf("%d",&n);
        inc(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
        pre[0]=1;
        inc(i,1,n) pre[i]=pre[i-1]*p;
        bool flag=1;
        inc(i,1,n){
            tree.adda(a[i],pre[a[i]]);
            tree.addb(a[i],pre[n-a[i]+1]);
            register int tmp=min(a[i]-1,n-a[i]);
            ull tmp1=tree.aska(a[i])-tree.aska(a[i]-tmp-1);
            ull tmp2=tree.askb(a[i]+tmp)-tree.askb(a[i]-1);         
            if(a[i]<n-a[i]+1) tmp1=tmp1*pre[n-a[i]+1-a[i]];
            else if(a[i]>n-a[i]+1) tmp2=tmp2*pre[a[i]-(n-a[i]+1)];
            if(tmp1!=tmp2){
                printf("Y
");
                flag=0; break;
            }             
        }
        if(flag){
            printf("N
");
        }
    }
    return 0;
}