Perlin Noise

参考文献：

1 http://en.wikipedia.org/wiki/Perlin_noise

2 http://webstaff.itn.liu.se/~stegu/TNM022-2005/perlinnoiselinks/perlin-noise-math-faq.html

3 http://www.mrl.nyu.edu/~perlin/doc/oscar.html#noise

目的：Generate a perlin noise image

图一 perlin noise 图像

对于如何获得一个periin noise,wiki上说大体上分为三个部分：

1Grid definition

2 Dot product

3Interpolation

前提：计算整张noise图像的问题可以转化为求取一点（x，y)的noise输出结果

第一个部分：Define an n-dimensional grid，实际上就是创建一个grid，并给每一个node随机一个梯度。

第二个部分：计算点积，“to determine which grid cell a particular point falls” 通过计算点积确定这个点该怎样变化。但是如何变化了，文献2中有详细介绍。这里抽出典型图做一下说明。

假如我们要计算noise(x,y)的结果

图二 noise(x,y)这一点和他周围的4个节点

图三 4个节点的梯度向量（在第一步中计算出来） 这里是第一类向量（4个）

图四 计算矢量距离，这里是第二类向量（4个）

计算=========点积==============

s = g(x₀, y₀) * ((x, y) - (x₀, y₀)) ,
t = g(x₁, y₀) * ((x, y) - (x₁, y₀)) ,
u = g(x₀, y₁) * ((x, y) - (x₀, y₁)) ,
v = g(x₁, y₁) * ((x, y) - (x₁, y₁)) .

结果如下：

图五 点积的意义

这样我们就得到了4个结果。但是我输入的只是一个点，也只需要一个值。所以就来到了第三步：Interpolation

一个很自然的插值想法是均值，（s+t+u+v)/4就不结束了？？？但是为了更平滑的结果（我猜的）。perlin noise使用如下的插值方式。

图六 插值方式

左边的曲线为：

S = 3X^2-2x^3;[指数参数不清楚，网页显示错误就给了一个框，我查了perlin自己的代码，就填入了2,3]

这个是一种插值方式：但是怎么看了？

他的作用是：让靠近1的值变得更靠近1，靠近0的更靠近0（废话）。加入了权重，使得输入点的结果更加接近最靠近的节点的点积（就是加入了一个权重的作用）。

根据位置(x-x0)判断实际插值的比例Sx在使用这个比例去插值同一维度(这里是x方向)上两个结果

现在我们有四个值s,u,v,t。经过变换只有两个了。

图七 这里使用y方向的距离来计算另外一个插值比例，将a,b插值

这样就得到了最终的结果。

Sy=3(y-y0)^2-2(y-y0)^3;

z=a+Sy(b-a)

这里的z就是noise（x,y)的结果。这样我们就获得了noise结果。

perlin noise至此结束。