求二进制中1的个数（编程之美2.1）

行文脉络

1. 解法一——除法
2. 解法二——移位
3. 解法三——高效移位
4. 解法四——查表
5. 扩展问题——异或后转化为该问题

对于一个字节（8bit）的变量，求其二进制“1”的个数。例如6（二进制0000 0110）“1”的个数为2，要求算法效率尽量高。

解法一

对于二进制数来说，除一个2，就少一位，可以判断这个少的位来确定“1”的个数。

例如：6（0000 0110）

0000 0110 / 2 = 0000 0011     ----少的一位为0

0000 0011 / 2 = 0000 0001     ----少的一位为1

0000 0001 / 2 = 0000 0000     ----少的一位为1

操作数数已经为0，到此结束

参考代码

int Count_1(int val)
{
    int num = 0;
    while(val)
    {
        if(val % 2 != 0)   //用取模获得去除的一位
            ++num;
        val /= 2;
    }
    return num;
}

性能：时间复杂度O(log₂v)，即二进制数的位数；空间复杂度O(1)

解法二

对于二进制数来说，除法是用移位完成。

例如：6（0000 0110）

0000 0110 >> 1 = 0000 0011     ----少的一位为0

0000 0011 >> 1 = 0000 0001     ----少的一位为1

0000 0001 >> 1 = 0000 0000     ----少的一位为1

操作数数已经为0，到此结束

参考代码

int Count_2(int val)
{
    int num = 0;
    while(val)
    {
        if(val & 1 != 0)   //用与1与获得移除的一位
            ++num;
        val >>= 1;
    }
    return num;
}

性能：时间复杂度O(log₂v)，即二进制数的位数；空间复杂度O(1)

解法三

对于上述算法，有个问题，比如1000 0000，大把的时间用在没用的0上，最好寻求一种直接判断“1的个数。

通过观察可以找到规律：对于数a, a = a & (a-1)就可以去除a的最后一个1

例如：6（0000 0110）

0000 0110 & 0000 0101 = 0000 0100     

0000 0100 & 0000 0011 = 0000 0000

操作数数已经为0，到此结束

参考代码

int Count_3(int val)
{
    int num = 0;
    while(val)
    {
        val &= (val -1);
        ++num;
    }
    return num;
}

性能：时间复杂度O(M)，即二进制中“1”的个数，空间复杂度O(1)

解法四

查表法，把0~255这256个数的结果全部存储在数组中，val直接作为下标，countTable[val]即为结果。典型的用空间换时间。

参考代码

int Count_5(int val)
{
    int countTable[] = {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 8};
    return countTable[val];
}

性能：时间复杂度：O(1), 空间复杂度O(N)

整个程序执行参考

#include<iostream>
using namespace std;

int Count_1(int val)
{
    int num = 0;
    while(val)
    {
        if(val % 2 != 0)
            ++num;
        val /= 2;
    }
    return num;
}

int Count_2(int val)
{
    int num = 0;
    while(val)
    {
        if(val & 1 != 0)
            ++num;
        val >>= 1;
    }
    return num;
}

int Count_3(int val)
{
    int num = 0;
    while(val)
    {
        val &= (val -1);
            ++num;
    }
    return num;
}
int Count_5(int val)
{
    int countTable[] = {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 8};
    return countTable[val];
}

int main()
{
    int a = 6, b = 255;
    cout << "Num of 1:" << Count_1(a) << endl; 
    cout << "Num of 1:" << Count_2(a) << endl; 
    cout << "Num of 1:" << Count_3(a) << endl; 
    cout << "Num of 1:" << Count_5(b) << endl; 
    cout << "Num of 1:" << Count_1(b) << endl; 
    cout << "Num of 1:" << Count_2(b) << endl; 
    cout << "Num of 1:" << Count_3(b) << endl; 
    cout << "Num of 1:" << Count_5(b) << endl; 
}

结果

扩展问题

1. 给定两个正整数（二进制表示）A、B，如何快速找出A和B二进制表示中不同位数的个数。

　　思路

　　首先A和B进行异或操作，然后求得到的结果中1的个数（此问题）。

2. 判断一个数是否是2的幂

bool powerof2(int n)
{
    return ((n & (n-1)) == 0);
}