P3628 [APIO2010]特别行动队（斜率优化dp）

P3628 [APIO2010]特别行动队

设$s[i]$为战斗力前缀和

显然我们可以列出方程

$f[i]=f[j]+a*(s[i]-s[j])^{2}+b*(s[i]-s[j])+c$

$f[i]=f[j]+a*s[i]^{2}+b*s[i]-(2*a*s[i]+b)*s[j]+a*s[j]^{2}+c$

$a*s[j]^{2}+f[j]=(2*a*s[i]+b)*s[j]+f[i]-a*s[i]^{2}-b*s[i]-c$

又变成了喜闻乐见的$y=k*x+b$

$y=a*s[j]^{2}+f[j]$

$k=2*a*s[i]+b$

$x=s[j]$

$b=f[i]-a*s[i]^{2}-b*s[i]-c$

$x,k$都是单调

于是再来个熟悉的单调队列维护上凸包就好辣

使用叉积判断斜率大小会爆long long，请使用正常的斜率判断

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rint register int
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define N 1000005
ll n,a,b,c,w,s[N],f[N];
int L=1,R=1,h[N];
inline db X(int i){return s[i];}
inline db Y(int i){return a*s[i]*s[i]+f[i];}
inline ll KK(ll xa,ll ya,ll xb,ll yb){return ya*xb-xa*yb;}//数据过大，叉积爆炸
inline db K(int x,int y){return (Y(x)-Y(y))/(X(x)-X(y));}
int main(){
    //freopen("P3628.in","r",stdin);
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);
    for(rint i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
    for(rint i=1;i<=n;++i){
        while(L<R&&K(h[L],h[L+1])>=2*a*s[i]+b) ++L;
        w=s[i]-s[h[L]]; f[i]=f[h[L]]+a*w*w+b*w+c;
        while(L<R&&K(h[R],h[R-1])<=K(h[R],i)) --R;
        h[++R]=i;
    }printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}