• 用单调队列优化DP,写给自己


    单调队列是一种严格单调的队列,可以单调递增,也可以单调递减。队首位置保存的是最优解,第二个位置保存的是次优解,ect。。。

    单调队列可以有两个操作:

    1、插入一个新的元素,该元素从队尾开始向队首进行搜索,找到合适的位置插入之,如果该位置原本有元素,则替换它。

    2、在过程中从队首删除不符合当前要求的元素。

    单调队列实现起来可简单,可复杂。简单的一个数组,一个head,一个tail指针就搞定。复杂的用双向链表实现。

    用处:

    1、保存最优解,次优解,ect。

    2、利用单调队列对dp方程进行优化,可将O(n)复杂度降至O(1)。也就是说,将原本会超时的N维dp降优化至N-1维,以求通过。这也是我想记录的重点

    是不是任何DP都可以利用单调队列进行优化呢?答案是否定的。

    记住!只有形如 dp[i]=max/min (f[k]) + g[i]  (k<i && g[i]是与k无关的变量)才能用到单调队列进行优化。

    优化的对象就是f[k]。

    通过例题来加深感受

    http://www.acm.uestc.edu.cn/problem.php?pid=1685

                                        我要长高

    Description

    韩父有N个儿子,分别是韩一,韩二…韩N。由于韩家演技功底深厚,加上他们间的密切配合,演出获得了巨大成功,票房甚至高达2000万。舟子是名很有威望的公知,可是他表面上两袖清风实则内心阴暗,看到韩家红红火火,嫉妒心遂起,便发微薄调侃韩二们站成一列时身高参差不齐。由于舟子的影响力,随口一句便会造成韩家的巨大损失,具体亏损是这样计算的,韩一,韩二…韩N站成一排,损失即为C*(韩i与韩i+1的高度差(1<=i<N))之和,搞不好连女儿都赔了.韩父苦苦思索,决定给韩子们内增高(注意韩子们变矮是不科学的只能增高或什么也不做),增高1cm是很容易的,可是增高10cm花费就很大了,对任意韩i,增高Hcm的花费是H^2.请你帮助韩父让韩家损失最小。

    Input

    有若干组数据,一直处理到文件结束。 每组数据第一行为两个整数:韩子数量N(1<=N<=50000)和舟子系数C(1<=C<=100) 接下来N行分别是韩i的高度(1<=hi<=100)。

    首先建立方程,很容易想到的是,dp[i][j]表示第 i 个儿子身高为 j 的最低花费。分析题目很容易知道,当前儿子的身高花费只由前一个儿子影响。因此,

    dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + abs(j-k)*C + (x[i]-j)*(x[i]-j));其中x[i]是第i个儿子原本的身高

    我们分析一下复杂度。

    首先有N个儿子,这需要一个循环。再者,每个儿子有0到100的身高,这也需要一维。再再者,0到100的每一个身高都可以有前一位儿子的身高0到100递推而来。

    所以朴素算法的时间复杂度是O(n^3)。题目只给两秒,难以接受!

    分析方程:

    当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要高时,

    dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + j*C-k*C + X);   ( k<=j ) 其中 X=(x[i]-j)*(x[i]-j)。

    当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要矮时,

    dp[i][j]=min(dp[i-1][k] - j*C+k*C + X);   ( k>=j )

    对第一个个方程,我们令 f[i-1][k]=dp[i-1][k]-k*C,  g[i][j]=j*C+X; 于是 dp[i][j] = min (f[i-1][k])+ g[i][j]。转化成这样的形式,我们就可以用单调队列进行优化了。

    第二个方程同理。

    接下来便是如何实现,实现起来有点技巧。具体见下

    View Code
     1 #include<iostream>
     2 #include<string>
     3 #include<stdio.h>
     4 #include<memory.h>
     5 using namespace std;
     6 #define inf 0xfffffff
     7 #define min(a,b) a<b?a:b
     8 #define max(a,b) a>b?a:b
     9 
    10 int dp[2][101];
    11 int n,c;
    12 int q[101];
    13 int head,tail,cur;
    14 
    15 int main()
    16 {
    17     int i,j,x,nowf;
    18     freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    19     while(scanf("%d%d",&n,&c)==2)
    20     {
    21         scanf("%d",&x);
    22         cur=0;
    23         for(i=0;i<x;i++)
    24             dp[cur][i]=inf;
    25         for(i=x;i<=100;i++)
    26             dp[cur][i]=(x-i)*(x-i);
    27         for(i=1;i<n;i++)
    28         {
    29             scanf("%d",&x);
    30             cur=1-cur;
    31             //比前一个人高
    32             head=tail=0;
    33             for(j=0;j<=100;j++) //当身高为j时候,队列里便已经保存了0~j-1的信息,注意,是第i-1个人的信息
    34             {
    35                 nowf=dp[1-cur][j]-j*c;
    36                 while(head<tail && q[tail-1]>nowf)
    37                     tail--;
    38                 q[tail++]=nowf;
    39                 if(j<x)
    40                     dp[cur][j]=inf;    
    41                 else
    42                     dp[cur][j]=q[head]+j*c+(x-j)*(x-j);
    43             }
    44             //比前一个人矮
    45             head=tail=0; 
    46             for(j=100;j>=0;j--) //当身高为j时候,队列里便已经保存了100~j+1的信息,正写反写是有技巧的
    47             {
    48                 nowf=dp[1-cur][j]+j*c;
    49                 while(head<tail && q[tail-1]>nowf)
    50                     tail--;
    51                 q[tail++]=nowf;
    52                 if(j>=x)
    53                     dp[cur][j]=min(dp[cur][j],q[head]-j*c+(x-j)*(x-j));
    54             }
    55         }
    56         int ans=inf;
    57         for(i=0;i<=100;i++)
    58             ans=min(ans,dp[cur][i]);
    59         printf("%d\n",ans);
    60     }
    61     return 0;
    62 }

    还有一个比较适合理解该优化方法的题目是HDU 3401http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3401

    大概题目便是:一个人知道接下来T天的股市行情,想知道最终他能赚到多少钱。

    构造状态dp[i][j]表示第i 天拥有 j只股票的时候,赚了多少钱

    状态转移有:

    1、从前一天不买不卖:

    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j])

    2、从前i-W-1天买进一些股:

    dp[i][j]=max(dp[i-W-1][k]-(j-k)*AP[i],dp[i][j])

    3、从i-W-1天卖掉一些股:

    dp[i][j]=max(dp[i-W-1][k]+(k-j)*BP[i],dp[i][j])

    这里需要解释一下为什么只考虑第i-W-1天的买入卖出情况即可。想想看,i-W-2天是不是可以通过不买不卖将自己的最优状态转移到第i-W-1天?以此类推,之前的都不需要考虑了,只考虑都i-W-1天的情况即可。

    对买入股票的情况进行分析,转化成适合单调队列优化的方程形式

    dp[i][j]=max(dp[i-W-1][k]+k*AP[i])-j*AP[i]。令f[i-W-1][k]=dp[i-W-1][k]+k*AP[i],则dp[i][j]=max(f[i-W-1][k]) - j*AP[i]。

    这便可以用单调队列进行优化了。卖股的情况类似分析。

    View Code
     1 #include<iostream>
     2 #include<string>
     3 using namespace std;
     4 #define inf 0xfffffff
     5 #define min(a,b) a<b?a:b
     6 #define max(a,b) a>b?a:b
     7 
     8 struct node
     9 {
    10     int pos;
    11     int f;
    12 };
    13 
    14 int AP[2001],BP[2001],AS[2001],BS[2001];
    15 int dp[2001][2001];
    16 node q[2001];
    17 int head,tail;
    18 int n,MaxP,W;
    19 
    20 int main()
    21 {
    22     int i,j,cas,nowf;
    23     freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    24     scanf("%d",&cas);
    25     while(cas--)
    26     {
    27         scanf("%d%d%d",&n,&MaxP,&W);
    28         for(i=1;i<=n;i++)
    29         {
    30             scanf("%d%d%d%d",&AP[i],&BP[i],&AS[i],&BS[i]);
    31         }
    32         for(i=0;i<=n;i++)
    33             for(j=0;j<=MaxP;j++)
    34                 dp[i][j]=-inf;
    35         for(i=1;i<=W+1;i++)
    36         {
    37             for(j=0;j<=(min(MaxP,AS[i]));j++)
    38                 dp[i][j]=-AP[i]*j;
    39         }
    40         dp[0][0]=0;
    41         for(i=1;i<=n;i++)
    42         {
    43             for(j=0;j<=MaxP;j++)
    44                 dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
    45             if(i<=W+1)
    46                 continue;
    47             int pre=i-W-1; //队列里保存的是第i-W-1天的信息
    48             head=tail=0;
    49             for(j=0;j<=MaxP;j++) //因为是买,所以肯定越来越多,求DP[i][j]的时候,之前的0~~j-1的信息就存在在队列了
    50             {
    51                 nowf=dp[pre][j]+j*AP[i];
    52                 while(head<tail && q[tail-1].f<nowf)
    53                     tail--;
    54                 q[tail].f=nowf;q[tail++].pos=j;
    55                 while(head<tail && q[head].pos+AS[i]<j)
    56                     head++;
    57                 dp[i][j]=max(dp[i][j],q[head].f-j*AP[i]);
    58             }
    59             head=tail=0;
    60             for(j=MaxP;j>=0;j--) //因为是卖,道理同上
    61             {
    62                 nowf=dp[pre][j]+j*BP[i];
    63                 while(head<tail && q[tail-1].f<nowf)
    64                     tail--;
    65                 q[tail].f=nowf;q[tail++].pos=j;
    66                 while(head<tail && q[head].pos-BS[i]>j)
    67                     head++;
    68                 dp[i][j]=max(dp[i][j],q[head].f-j*BP[i]);
    69             }
    70         }
    71         int ans=0;
    72         for(i=0;i<=MaxP;i++)
    73             ans=max(ans,dp[n][i]);
    74         printf("%d\n",ans);
    75     }
    76     return 0;
    77 }

     最后再说一个应用,用单调队列来优化多重背包问题   hdu 2191

    如果有n个物品,每个物品的价格是w,重量是c,且每个物品的数量是k,那么用这样的一些物品去填满一个容量为m的背包,使得得到的背包价值最大化,这样的问题就是多重背包问题。

    对于多重背包的问题,有一种优化的方法是使用二进制优化,这种优化的方法时间复杂度是O(m*∑log k[i]),具体可以见

    http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/08/06/2129505.html

    而利用单调队列的优化,复杂度是O(mn)

    首先,对于第i件物品,如果已知体积为V,价值为W,数量为K,那么可以按照V的余数,将当前的体积J分成V组(0,1,....V-1)。

    对于任意一组,可以得到转移方程:f[i*V+c]=f[k*V+c]+(i-k)*W,其中c是V组分组中的任意一个

    令f[i*V+c]=dp[i],那么就得到dp[i]=dp[k]+(i-k)*W (k>=i-K)

    将dp[k]-k*W看做是优化函数,那么就可以运用单调队列来优化了

    View Code
     1 #include<iostream>
     2 #include<string>
     3 #include<algorithm>
     4 using namespace std;
     5 
     6 int c,w,num;
     7 int a[101],b[101],f[101];
     8 int n,m;
     9 int q[101];
    10 int head,tail;
    11 
    12 int main()
    13 {
    14     int i,cas,k,j;
    15     freopen("in.txt","r",stdin);
    16     scanf("%d",&cas);
    17     while(cas--)
    18     {
    19         scanf("%d%d",&m,&n);
    20         memset(f,0,sizeof(f));
    21         for(i=0;i<n;i++)
    22         {
    23             scanf("%d%d%d",&c,&w,&num);
    24             if(m/c<num) //取最小值
    25                 num=m/c;
    26             for(k=0;k<c;k++) //分成c份
    27             {
    28                 head=tail=0;
    29                 for(j=0;j<=(m-k)/c;j++)
    30                 {
    31                     int x=j;
    32                     int y=f[j*c+k]-j*w; //将f[j*c+k]-j*w入队
    33                     while(head<tail && y>=b[tail-1])
    34                         tail--;
    35                     a[tail]=x; //记录下标
    36                     b[tail++]=y; //记录dp值
    37                     while(a[head]<j-num) //如果超出了范围
    38                         head++;
    39                     f[j*c+k]=b[head]+j*w;
    40                 }
    41             }
    42         }
    43         printf("%d\n",f[m]);
    44     }
    45     return 0;
    46 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ka200812/p/2585950.html
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