网络最大流算法是众多网络流的基础，实现的办法很多，但是在时间复杂度和编程复杂度方面，却总是很难做到两者尽美。
比如目前最牛B的高标推进算法(前我前面日志)，编程起来居然可以长达接近200行代码，有时候效果还不是很让人满意。
另一方面，简单的寻找增广路算法时间上却不敢恭维。所以很多人都选用Dinic算法。
其实！SAP算法综合起来说，时间复杂度很低，编程很简单，而且很易于理解，我觉得，没有比SAP更好的最大流算法了。
SAP算法框架：
1、定义距离标号为各点到汇点距离的下界(即最短距离)。
2、在初始距离标号的基础上，不断沿着可行弧找增广路。可行弧的定义为{( i , j ) , h[ i ]==h[ j ]+1 };
3、遍历当前节点完以后，为了保证下次再来的时候有路可走，重新标号当前距离。
h[ i ] = min（h[ j ] +1）；
4、检查重新标记的顶点，若其为原点，且被标记的高度等于节点个数时，图中已经不存在增广路，算法可结束。否则继续从原点开始遍历
别人的一些心得：
1、理论上初始标号要用反向BFS求得，实践中全部设为0，这样做几乎不改变实践复杂度。
2、GAP常数优化！（性价比极高）
由于我们不停的遍历，最大流很可能便早就已经求出来了。那么我们接下来的遍历便成了无用功。可以发现，距离标号是连续单调变化的。如果某一种大小标号的节点数量为零。也就是出现了不连续，断层！那么图中也不肯能再存在增广路了。实践中，我们用一个vh[ i ]数组用来记录标号为i的顶点的个数，若重标号使得vh数组中的原标号数目变为了0，那么就停止算法。
附上一张别人测试出的效率比较表，让大家可以更直观的看到SAP算法的优势
PS：高标推进虽然快一点，不过代码量上实在是多，可以见我前面的日志
下面帖上自己的SAP代码
邻接表是必须的
View Code
1 struct node 2 { 3 int v; 4 int f; 5 int w; 6 struct node *next; 7 }; 8 9 node *link[500]; 10 node edge[10000]; 11 int num; 12 13 void add(int u,int v,int f,int w) 14 { 15 edge[num].w=w; 16 edge[num].v=v; 17 edge[num].f=f; 18 edge[num].next=link[u]; 19 link[u]=edge+num++; 20 edge[num].w=-w; 21 edge[num].v=u; 22 edge[num].f=0; 23 edge[num].next=link[v]; 24 link[v]=edge+num++; 25 }
View Code
int find(int u,int FLOW) //FLOW是总流量
{
if(T==u)
return FLOW;
int left=FLOW; //left是剩余流量
int f;
int temp=n-1;
for(node *p=link[u];p;p=p->next)
{
int res=p->f-flow[u][p->v]; //计算该边剩余的可行流量
if(res && h[u]==h[p->v]+1) //满足可行弧条件
{
int MIN=min(res,left); //计算最小可行流量
f=find(p->v,MIN); //递归寻找增广路
left-=f;
flow[u][p->v]+=f;
flow[p->v][u]-=f;
if(!left || h[S]==n)
return FLOW-left; //总流量减去剩下的流量=流去的流量
}
res=p->f-flow[u][p->v];
if(res && h[p->v]<temp)
temp=h[p->v];
}
if(left==FLOW) //需要重新标记
{
vh[h[u]]--; //重标记以后，原标记的数目肯定减少了一
if(!vh[h[u]]) //出现了断层，已经找到了最大流，停止算法
{
h[S]=n;
}
else
{
h[u]=temp+1;
vh[h[u]]++;
}
}
return FLOW-left;
}
void sap()
{
int ans=0;
n=T+1; //S->T 有T+1个点
memset(vh,0,sizeof(vh)); //常数优化数组
memset(h,0,sizeof(h));
memset(flow,0,sizeof(flow));
vh[0]=n; //标号为0的顶点有n个~~
while(h[S]<n)
{
ans+=find(S,inf);
}
cout<<ans<<endl;
}