• 【百度之星2014~复赛)解题报告】The Query on the Tree


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    id=673


    前言

    这几天把毕业答辩的事弄完了,于是买票出来玩,结果周六是百度之星的复赛。于是我就没有办法来做比赛了,只是看了看题。目測能够过我两三道题.

    今天已经是比赛的第二天了,我还一直没有时间来A掉这些题,今晚抽出时间先把最简单的线段树那道题A了再说.


    正文



    题意


    题目说的非常清楚了,自己看吧.


    有一棵树。树的每一个点有点权。每次有三种操作:
      1. Query x 表示查询以x为根的子树的权值和。
      2. Change x y 表示把x点的权值改为y(0<=y<=100)。
      3. Root x 表示把x变为根。


    分析


    这道题的数据起始非常弱的.

    我最初的想法就能够把这道题过掉.


    最初的想法


    首先对这个树按1为根dfs根优先编号,这个应该没有什么疑问.

    编号的优点是一个子树变为了一个连续的区间.

    编号的时候保存一下这个子树的编号区间,保存在子树的根上.

    编号的时候顺便计算一下子树的权值和.

    编号的时候记录一下一个节点的父节点.


    改动操作


    先说说改动操作,改动某个节点时,就算出这个节点应该添加多少,然后从这个节点開始更新,一直更新到根1.

    平均复杂度 O( log(n) )

    最坏复杂度 O( n )


    设置根


    这里我们须要一个变量来表示眼下的根是那个节点,比方使用root变量。默认值是1.

    设置根仅仅须要把根变量更新一下就可以.

    平均复杂度 O( 1 )

    最坏复杂度 O( 1 )


    查询操作

    查询的时候分三种情况:

    1.查询的节点是眼下的根 

    这个时候答案显然是整个树的权值和,返回 根1的权值和就可以.


    2.眼下的根不是查询的节点的某个子孙(即根不在查询的子树里面)

    这个时候,答案和根是1的情况同样,及直接返回查询节点的权值和就可以.

    怎么推断根是不是查询节点的子孙呢?

    寻常的方法是用 LCA 查询,这里我直接使用子树区间来推断就可以.


    3.眼下的根是查询节点的某个子孙.

    这个时候,我们想象一下,我们拿起根,查询节点的子孙有那些呢?

    即那些会在查询节点的以下呢?

    如果查询节点是 x,  x的一个儿子是y, 根是y的一个子孙(也可能是y).

    这个时候,我们拿起根,x 应该变成 y 的儿子了吧.

    这时树的权值应该是 x 原先的权值和 - y 节点的权值和 + 不在x子树区间的全职和.

    然后,我们能够发现 x 原先的权值和 + 不在x子树区间的权值和 = 整个树的权值和.

    故终于答案是 整个树的权值和 - y节点的权值和.


    问题:怎么找到y节点.

    有两个方法:

    1.枚举x的儿子来推断

    2.从根不断的找父亲来推断.

    因为题意没有说最多儿子有多少个,所以第一个方法最坏情况下为 O( n ) (非常多儿子)

    相应的,第二个方法最坏情况下也是 O( n ) (树退化为链表).


    只是我们不用管最坏情况,先这样实现了再说.


    综合操作复杂度log(n)


    线段数优化

    首先对于改动操作,线段树优化后能够使最坏情况达到 O( log( n ) ).

    对于查询操作。因为须要知道 x 的那个儿子 y, 这个我眼下没有想到 O( log( n ) ) 的方法.

    学弟说那仅仅能使用二分了.

    可是怎么二分呢?

    发现二分不了,只是能够使用随机算法来优化找儿子的效率.

    起初我们是遍历x的全部儿子,这里我们随机挑一个儿子来寻找.这也算是一个比較好的优化方法吧.



    代码

    暴力版代码 https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.2.cpp(比較简洁)

    线段树优化版代码 https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.cpp

    对于上面说的几个方法我仅仅实现了两个,其它的都非常easy,有兴趣的朋友能够尝试一下.


    參考

    http://blog.csdn.net/hongrock/article/details/27839237(这个參考主要用于确认暴力不会超时。假设精心构造数据。这种方法会超时的)

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