题目
给你一个地图，每个格子上的数表示其高度。
“山谷”的定义是：某个周围高度都大于它的、并且没有洞的块。
有洞的定义是：将块删了之后，剩余的鸽子不能通过点相交形成一个连通块。
求所有山谷的大小之和。
正解
思考历程就没有了，一开始根本就没有好好地思考这道题。
先考虑如果没有洞该怎么做。这就是个小学生题：用并查集来维护块。将高度从小到大排序，对一个点进行操作时，将它相邻的、高度小于等于它点和它所在块合并。顺便记一下点数，就可以求出答案了。
现在我们的问题是，如何快速地判断某个块是否有洞。
方法似乎很多，这里就介绍一下平面图欧拉公式：
记(V)为点数，(E)为边数，(F)为区域数，则(V+F=E+2)
考虑一个合法的山谷。首先计算一下有多少个小正方形（块内边长为(1)的互相连通的点形成的正方形），记为(S)
如果这个山谷合法，那么(F=S+1)。后面的这个(1)是最外面的那个块。
如果不合法，这条等式就不成立了。
于是我们只需维护(V)、(E)、(S)。对于(S)的维护，注意到新生成的小正方形的格点肯定包含当前点，枚举一下就可以方便地维护。
代码
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 800
#define ll long long
int n,m;
int id[N][N],h[N*N];
bool vis[N*N];
#define at(x,y) h[id[x][y]]
struct DOT{int x,y;} d[N*N];
inline bool cmpd(DOT a,DOT b){return at(a.x,a.y)<at(b.x,b.y);}
const int dx[4]={1,0,-1,0};
const int dy[4]={0,1,0,-1};
int fa[N*N],V[N*N],E[N*N],sq[N*N];
int getfa(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
#define in(x,y,z) ((1<=x && x<=n && 1<=y && y<=n) && getfa(id[x][y])==z)
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("valleys.in","r",stdin);
freopen("valleys.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=1;j<=n;++j){
id[i][j]=++m;
d[m]={i,j};
scanf("%d",&h[m]);
}
sort(d+1,d+m+1,cmpd);
for (int i=1;i<=m;++i)
fa[i]=i,V[i]=1,E[i]=0,sq[i]=0;
ll ans=0;
for (int i=1;i<=m;++i){
int x=d[i].x,y=d[i].y,z=id[x][y];
vis[z]=1;
for (int j=0;j<4;++j){
int tx=x+dx[j],ty=y+dy[j],tz=id[tx][ty];
if (tx<1 || tx>n || ty<1 || ty>n || !vis[tz])
continue;
int r=getfa(tz);
if (r!=z){
fa[r]=z;
V[z]+=V[r];
E[z]+=E[r];
sq[z]+=sq[r];
}
E[z]++;
}
for (int j=0;j<4;++j){
int k=(j+1)%4;
if (in(x+dx[j],y+dy[j],z) && in(x+dx[k],y+dy[k],z) && in(x+dx[j]+dx[k],y+dy[j]+dy[k],z))
sq[z]++;
}
if (i==m || at(x,y)!=at(d[i+1].x,d[i+1].y))
ans+=(E[z]-V[z]+2-sq[z]==1?V[z]:0);
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}
总结
那些奇奇怪怪的公式定理，真该积累一些呢……