[JZOJ5355] 【NOIP2017提高A组模拟9.9】保命

题目

描述

题目已经足够清晰了，所以不再赘述题目大意。

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思考历程

一眼看下去，好像是一道大水题！
然而，再看几眼，感觉又不是一道水题！
然后想了半天，感觉它特别难转移！
最终打了一个暴力，然后发现样例没有过去！
调试一波，发现原因是恶心的编号……（为什么要设置成这样，好不习惯啊……）
最终交上去，5分！
我的暴力不应该30分吗？
欲哭无泪……

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正解

这题的正解有一个很好的思想。
首先，显然这题是DP，因为数据太大，不能用网络流，贪心显然是错误的。
估计一下时间复杂度：$O(NK)$
如何做到优秀的转移？
感觉上，如果正着转移，那就比较麻烦；但是我们能不能考虑反着转移呢？
我们可以先将$k=0$的答案计算出来，
对于一段区间，就要减去它们之间的长度乘上区间左边的总数。
因为题目要求最小，所以我们计算出这个东西的最大值，然后减去它。
设$f_{i,k}$表示现在到了$i$这个点，放置了$k$个消防栓的最大值。
方程就出来了：$f_{i,k}leftarrow f_{j,k-1}+W_j(D_i-D_j)$
其中$W_i$表示$i$之前（含）的总数，$D_i$表示从起点到$i$的距离。
注意在实现的过程中的细节，什么加一减一之类的东西（调试时最可恶的东西就是这个了）。
这是一个$O(N^2K)$的做法，还是不够优秀。
再仔细观察一下式子，我们发现好像可以斜率优化！
然后斜率优化一下，时间复杂度就下降到$O(NK)$。
斜率优化怎么搞？我就不打算讲了，都是那样推式子，自己推去。
按道理来说这个时间其实是过得去的，可是数据坑爹，最后一个点特别恶心，卡常数都难卡过去。并且，这个数据本身就是错误的……所以说，如果你有了95分，恭喜你，实际上你已经AC了。

题解上还有一些比较奇怪的做法。
比如，当$K=1$时，三分放在哪个点，得出最优解。
如果$K>1$呢？那就是神一般的三分套三分……不停套下去，一共$K$层……
这个方法不得不说特别强悍……
也许是可以过的吧（说真的，我身边的同学没有一个人打这种奇葩做法）。

还有一种做法叫作模拟退火。
具体怎么做我就不说了，模拟退火的本质就是暴力……
而且这题还有SPJ，所以模拟退火据说可以水到很多的分数……
题解说期望97分……
当然，如果能打正解，就尽量打正解。模拟退火就应该看成一个水分神器，在某些时候，据说模拟退火可以切爆正解！
呜呜呜我不会模拟退火……

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 1000001
int n,K;
long long w[N+1],d[N+1],W[N+1],D[N+1];
long long ans0;
long long f[N+1][23];
int pre[N+1][23];
int q[N+1],head,tail;
inline bool calc1(int i,int a,int b,int k){
	return (f[a][k]-W[a]*D[a])-(f[b][k]-W[b]*D[b])<=D[i]*(W[b]-W[a]);
}
inline bool calc2(int a,int b,int c,int k){
	return ((f[a][k]-W[a]*D[a])-(f[b][k]-W[b]*D[b]))*(W[c]-W[b])>=((f[b][k]-W[b]*D[b])-(f[c][k]-W[c]*D[c]))*(W[b]-W[a]);
}
void print(int i,int k){
	if (!i)
		return;
	print(pre[i][k],k-1);
	printf("%d ",i-1);
}
int main(){
	freopen("life.in","r",stdin);
	freopen("life.out","w",stdout);
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&K);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d%d",&w[i],&d[i]);
	long long sum=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		sum+=w[i];
		ans0+=sum*d[i];
	}
	W[0]=0,D[0]=0;
	for (int i=1;i<=n+1;++i)
		W[i]=W[i-1]+w[i],D[i]=D[i-1]+d[i-1];
	memset(f,128,sizeof f);
	f[0][0]=0;
	for (int k=1;k<=K+1;++k){
		q[head=tail=0]=0;
		for (int i=1;i<=n+1;++i){
			while (head<tail && calc1(i,q[head],q[head+1],k-1))
				++head;
			f[i][k]=f[q[head]][k-1]+W[q[head]]*(D[i]-D[q[head]]);
			pre[i][k]=q[head];
			while (head<tail && calc2(q[tail-1],q[tail],i,k-1))
				--tail;
			q[++tail]=i;
		}
	}
	printf("%lld
",ans0-f[n+1][K+1]);
	print(pre[n+1][K+1],K);
	return 0;
}

我认为这个程序不需要打注释……

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总结

其实这题的斜率优化真的是一点也不难（我不会告诉我在NOIP2018前一个星期才学会了斜率优化）。
这题最终要的地方是从反面求答案。
有时候反面求比正面求简单多了。