双目成像简单分析
1. 双目视差推导(对14讲上内容的一些深入解释)
对于十四讲中的推导有些疑惑，给出了结果，但是推导部分感觉不太严谨，所以简单推了一下。
设空间3D点(P):
-
在左右相机上对应的像素坐标为(u_L,u_R)(图像坐标系,原点在左上角)单位: pixel
同时假设(u_L)在左相机中心点右侧，(u_R)在右相机中心点左侧(仅仅便于推导，实际情况结果都一样)
-
深度为(d)，单位: mm
-
双目基线长度(b),单位: mm
-
相机传感器像素与mm转换系数(s),单位: mm/pixel
-
相机焦距(f_x)，单位: pixel
-
图像中心点横坐标为(w)
这里取的是像素焦距，为什么是(f_x)，请看第2节分析
利用相似三角形关系(图见十四讲P91)，可以得到:
[frac{z-f_xs}{z} = frac{b-(u_L-w+w-u_R)s}{b} \
Rightarrow bz-bf_xs =bz-zs(u_L-u_R) \
Rightarrow z=frac{bf_x}{u_L-u_R} \
Rightarrow z = frac{bf_x}{d} \
ext{其中}:d=u_L-u_R
]
称为视差，单位为像素，最小值为一个像素，所以深度的最大值为:(bf_x)
2. 使用(f_x)的原因以及双目成像完整推导
相机成像模型如下:
- (u_L,v_L,u_R,v_R): 单位像素
- (alpha,eta): 传感器单位长度上像素个数(pixel/mm)
- (f):物理焦距，单位mm
对于同一个3D空间点(P=(X,Y,Z)^T)，其在两个相机上的成像模型为:
左目:
[segin{pmatrix}
u_L\
v_L \
1
end{pmatrix} = egin{pmatrix}
alpha & 0 &c_x \
0& eta & c_y \
0 & 0 & 1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
f & 0&0&0 \
0 &f &0 &0 \
0 & 0 & 1 & 0
end{pmatrix} egin{pmatrix}
X\Y\Z\1
end{pmatrix}
]
右目:
[segin{pmatrix}
u_R\
v_R\
1
end{pmatrix} = egin{pmatrix}
alpha & 0 &c_x \
0& eta & c_y \
0 & 0 & 1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
f & 0&0&0 \
0 &f &0 &0 \
0 & 0 & 1 & 0
end{pmatrix} egin{pmatrix}
X-b\Y\Z\1
end{pmatrix}
]
这里假设两个相机的内参相同，并且已经进行过双目校正，如果完整考虑整个模型，只需替换相关参数继续推导即可
由于进行过双目校正，所以只需要考虑(u_L,u_R)关系即可:
[ u_L = alpha f frac{X}{Z}+c_x \
u_R= alpha ffrac{X-b}{Z}+c_x \
alpha f Rightarrow f_x
]
两式相减可以得到:
[Z = frac{bf_x}{u_L-u_R}
]
与前面利用几何关系推导结果相同，并且在实际代码中使用(f_x)的原因也清楚了。