软考难点—算法时间的复杂度

推导大O阶的方法

1、用常熟1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不为1，则去除与这个项相乘的常数。

应用：

①常数阶

int sum=0,n=1000;
sum=(1+n)*n/2;
printf("%d",sum);

　　以上是顺序结构的时间复杂度，这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据上面的方法，第一部就是把常数改成1,。在保留最高阶时发现，它根本没有最高阶项，所以它的时间复杂度是O(1)。

　　对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变化而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O（1）。

②线性阶

要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

int i;
for(i=0;i<n;i++)
    {
       /*时间复杂度为O（1）的程序步骤序列*/      
    }

上面的代码，它的时间复杂度是O（n），因为循环体中的代码需要执行n次。

③对数阶

int count=1;
while (count < n)
{
   count=count * 2;
   /*时间复杂度为O（1）的程序步骤序列*/        
}

　　由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。又2^x=n 得到x=log₂n。所以找个循环的时间复杂度为O（logn）。

④平方阶

下面的代码是一个循环嵌套，根据上面的分析，内循环的时间复杂度为O（n）

int i ,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
   for(j=0;j<n;j++)
   {
      /*时间复杂度为O（1）的程序步骤序列*/
   }    
}

对于外部的循环，不过是内部的循环又循环了n次，所以这段代码的时间复杂度为O(n²)。

如果外循环的次数改成了m，即

int i ,j;
for(i=0;i<m;i++)
{
   for(j=0;j<n;j++)
   {
      /*时间复杂度为O（1）的程序步骤序列*/
   }    
}

那么时间复杂度就是O（m×n）所以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环的运行的次数。

常见的时间复杂度