线性代数

Ax=b   克拉默法则

标准正交：
|a|=1,|b|=1,ab=0

正交矩阵：
A*A^t=E的矩阵，即A^t=A-1
线性无关且行/列模都是1的即使正交矩阵

施密特正交化：通过部分基构造标准基
由线性无关向量构造标准正交向量

可逆
行列式 求逆 求Ax=b

分解 1.A=LU(U是A的阶梯型，L是A→U化简过程产生的)，计算Ax=b更快

 

特征值/特征向量
只有方阵才有特征值，不需要可逆
特征方程，|A-λE|=0的方程

 

(A-λE)x=0，矩阵(A-λE)每一行都有变量λ，故必然可以求得λ使|A-λE|=0，λ可能为实数可能为虚数
即：方阵必有特征值，可能是实数或复数，必有对应的特征向量(实/复)
故特征空间>=1维

 

重根：
可能有多个特征值，会有重特征值，如(λ-2)^(λ+1)=0
特殊的，如果A是E，则仅有一个重根，这个重根有n个

 

特征空间，即(A-λE)x=0的解；每个λ对应的特征向量组成一个特征空间：
1=<维数<=n，因为有非0解所以必然不是满秩即1=<，当A是E时为0矩阵即<=n

 

几何重数：特征空间维数，代数重数：重复的特征值的个数

 

特征空间的维数与是否是重根有关系
特征空间的维数<=代数重数
而所有特征值对应的代数重数之和=n
所以最多可以取n个线性无关的特征向量，可能最多取出的小于n个

证明：

 

不同特征值：
不同特征值所对应的特征向量线性无关
反过来，n个线性无关的特征向量，是否有n个不同的特征值?
不是，因为同一个特征值对应的特征空间1=<维数<=n，故可以有多于1个的线性无关特征向量
如A是4x4矩阵，有4个线性无关的特征向量，其中某个特征值的对应的特征空间维数>=2

与A可逆关系
A可逆 → 没有0特征值，因为如果有0特征值，则Ax=0有非0解
没有0特征值的矩阵是可逆矩阵？

矩阵本身是如何影响特征值的？？
特征值：实数，虚数，重根

 

特征分解A：
AX=XM→A=XMX-1，X是特征向量组成的矩阵，M是特征值组成的对角矩阵
可以分解的前提是X必须可逆，即必须可以拿出n个线性无关的特征向量
AX=XM，只要求X的各列即特征向量与M中的特征值对应即可，不对X各列做要求，可以线性相关也可以线性无关
但如果要变成A=XMX-1，则就要求X可逆，即有n个线性无关的特征向量

 

对角化：
通过A的特征值和特征向量可以构造对角化；与可分解的要求一样，必须有n个线性无关的特征向量
特殊的，如果有n个不同的特征值则必然可以对角化；因为不同的特征值对应的特征向量线性无关
可以直接求n次方，(P-1AP)^n=P-1A^nP

对称矩阵：

具有很好的性质：可对角化
任何矩阵和自己的转置相乘，结果都是对称矩阵
TODO 任何一个对称矩阵A是否总能找到一个对应的矩阵B，使得A=B*B^t ？

实对称矩阵性质：
特征值都是实数（待证）
特征空间维数等于代数重数（待证）
即可推出：实对称矩阵一定可以对角化，A = S∩S-1，S是A的特征向量组成的正交矩阵，∩ 是对角矩阵由特征值组成

正交对角化
即A = S∩S-1，其中S是对特征向量的正交化
充要条件是A为对称矩阵

相似：

相似的矩阵A/B，有很多相同的性质
存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A和B相似，(可对角化则必然存在一个相似矩阵)
相似矩阵的特征值相同，代数重数相同
相似矩阵同一个特征值对应特征空间并没有关联，故几何重数不一定相同
相似则秩相等，因为P是可逆矩阵，可逆矩阵是初等矩阵的乘积，而初等变化不改变矩阵的秩，所以A的秩和B相同
相似行列式相同

 

关于初等变化不改变其秩：
行秩=列秩，对A的列进行初等变换秩不变，故行秩也不变

 

行秩=列秩的证明：

A=CB，C是A列空间的基
mxn mxr1 r1xn
r1维张成了行空间
r2<=r1

A=CB，B是A行空间的基
mxn mxr2 r2xn
r2维张成了列空间
r1<=r2

故r1=r2

等价：
A初等变化产生B，则A等价于B