平衡树维护动态凸包

codeforces70D

有两种操作， 1 x y   将(x,y)加入当前的点集合中。 2 x y  询问(x,y)是否在当前点集形成的凸包内。

即我们要动态的维护凸包，将凸包分为上凸包和下凸包，然后将上凸包关于x轴对称一下， 那么只要维护两个下凸包。

考虑用平衡树（为了让x有序）来维护凸包，插入一个点时，判断是否在下凸包的下方，如果是则插入且不断往两边删点，直到所有的点都满足凸包的定义为止。

如下图，插入点p5时，不断判断p5两边的点是否满足凸包的定义。

明显p2不满足。所有新的凸包是由点p1,p5,p3,p4组成。

代码里面要注意的是就是如果下凸包里面最左边或者最右边有点 (1,0), 那么新加入的点如果是(1,y),y>0, 那么该点不用加入下凸包，因为该点会加入上凸包的。

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef struct Point{
    double x,y;
    Point(){}
    Point(double x, double y):x(x),y(y){}
}Vector;
Vector operator+(const Vector &a, const Vector &b){
    return Vector(a.x+b.x, a.y+b.y);
}
Vector operator-(const Vector &a, const Vector &b){
    return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
double Cross(const Vector &a, const Vector &b){
    return a.x * b.y - b.x * a.y;
}

map<int,int> convex[2];
map<int,int>::iterator l,r,l2,r2;
bool isIn(map<int,int>&ma, int x, int y){
    if(ma.size()==0) return false;
    if(ma.find(x)!=ma.end()) return y >= ma[x];
    if(x < (ma.begin()->first) || ((--ma.end())->first) < x) return false;
    l = r = ma.lower_bound(x);
    l--;
    Point L(l->first,l->second);
    Point R(r->first,r->second);
    Point now(x,y);
    return Cross(R-L,now-L) >= 0;
}
void insert(map<int,int> &ma, int x, int y){
    if(isIn(ma,x,y))return;
    ma[x] = y;
    r  = ma.upper_bound(x);

    if(r!=ma.end()){
        r2 = r;
        r2++;
        while(r2!=ma.end()){
            Point R(r->first,r->second);
            Point R2(r2->first,r2->second);
            Point now(x,y);
            if(Cross(R-now,R2-now)<0){
                ma.erase(r);
                r = r2;
                r2++;
            }
            else
                break;
        }

    }
    l  = ma.lower_bound(x);
    if(l==ma.begin()){
       return;
    }
    l--;
    if(l==ma.begin())
        return;
    l2 = l;
    l2--;
    while(l!=ma.begin()){
        Point L(l->first,l->second);
        Point L2(l2->first,l2->second);
        Point now(x,y);
        if(Cross(L2-now,L-now)<0){
            ma.erase(l);
            l = l2;
            l2--;
        }
        else{
            break;
        }
    }

}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int x,y,type;
        scanf("%d%d%d",&type,&x,&y);
        if(type==1){
            insert(convex[0],x,y);
            insert(convex[1],x,-y);//x轴对称一次，把上凸包变成下凸包
            //printf("%d %d
",convex[0].size(),convex[1].size());
        }
        else{
            //在下凸包的上方
            bool ans1 = isIn(convex[0],x,y);
            //在上凸包的下方
            bool ans2 = isIn(convex[1],x,-y);
            if(ans1&&ans2){
                puts("YES");
            }
            else{
                puts("NO");
            }
        }

    }
    return 0;
}