区间动态规划是从区间的角度来考虑问题的。对于每段区间，它的最优值是由几段更小的区间的最优值得到，这算是分治思想的一种应用吧。
就拿http://acm.fafu.edu.cn/problem.php?id=1502
合并石子这一题来说。要求得区间1-->n石子合并的最小花费
设dp[1][n] 为合并区间1--->n的最小花费。
区间的最后一次合并一定是1--->k 与 k+1-->n合并
所以合并区间1--->k的花费最小,和合并区间k+1--->n的花费最小，才能使得合并区间1--->n的花费最小。
所以状态转移方程为：dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]); sum[i]表示前i堆石子的总个数。
方程的思想是在区间的角度上来思考问题的，一个大区间的问题转化为两个小区间的问题
1 #include <stdio.h> 2 const int INF = 1 << 30; 3 const int N = 100 + 10; 4 int dp[N][N],sum[N]; 5 int min(const int &a, const int &b) 6 { 7 return a < b ? a : b; 8 } 9 int main() 10 { 11 int n,i,j,k,z; 12 scanf("%d",&n); 13 for(i=1; i<=n; ++i) 14 for(j=1; j<=n; ++j) 15 dp[i][j] = INF; 16 for(i=1; i<=n; ++i) 17 { 18 scanf("%d",&sum[i]); 19 sum[i] += sum[i-1]; 20 dp[i][i] = 0; 21 } 22 for(z=2; z<=n; ++z)//枚举区间的长度 23 for(i=1; i<=n-z+1; ++i)//枚举区间的起点 24 { 25 j = i + z - 1; 26 for(k=i; k<j; ++k)//枚举区间的断点，将区间分为两个更小的区间。 27 dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j] - sum[i-1]); 28 } 29 printf("%d ",dp[1][n]); 30 }
poj2995 Brackets http://poj.org/problem?id=2955
给出一个括号字符串，求出一个子序列（和子串是不一样的）使得括号的匹配个数最大
区间dp，从区间的角度来思考，这题的关键应该是怎么把一个区间分为两个区间。
dp[i][j]表示区间i--->j的最大匹配个数
有两种情况
如果 for(k=i+1; k<=j; ++k) if(str[i] =='[' && ']'== str[k] || str[i]=='(' && str[k]==')')
那么dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i+1][k-1]+dp[k+1][j]+2) //下标可能越界，数组要开大点
匹配的括号 i AAA k BBB 将区间分为了更小的两个区间.
另一种情况是：没有一个k 使得 str[i] =='[' && ']'== str[k] || str[i]=='(' && str[k]==')'
那么dp[i][j] = dp[i+1][j] 即子序列的下标不可能从i开始，而要从i+1开始。
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 const int N = 100 + 10; 4 char str[N]; 5 int dp[N][N]; 6 int max(const int &a, const int &b) 7 { 8 return a > b ? a : b; 9 } 10 int main() 11 { 12 //freopen("in.txt","r",stdin); 13 int i,j,k,z; 14 while(true) 15 { 16 gets(str+1); 17 if(str[1] == 'e') 18 break; 19 int n = strlen(str+1); 20 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 21 for(z=2; z<=n; ++z) 22 for(i=1; i<=n-z+1; ++i) 23 { 24 j = i + z - 1; 25 dp[i][j] = dp[i+1][j]; 26 for(k=i+1; k<=j; ++k) 27 if(str[i] =='[' && ']'== str[k] || str[i]=='(' && str[k]==')') 28 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i+1][k-1]+dp[k+1][j]+2); 29 //else 30 //dp[i][j] = dp[i+1][j]; 不能放在这里，因为肯定会出现不匹配的情况，这就会把之前的值给覆盖掉 31 32 } 33 printf("%d ",dp[1][n]); 34 } 35 return 0; 36 }
poj3280 Cheapest Palindrome http://poj.org/problem?id=3280
dp[i][j] 表示将区间i--->j的字符串变为回文串的最小花费
if(str[i] == str[j])
dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
else
dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + 在j后面增加str[i]的花费, dp[i+1][j]+删除str[i]的花费 ,dp[i][j-1]+在i前面增加str[j]的花费, dp[i][j-1]+删除str[j]的花费);
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 const int N = 2000 + 10; 4 char str[N]; 5 struct node 6 { 7 int add,del; 8 }cost[26]; 9 int min( int a, int b, int c, int d) 10 { 11 if(a > b) 12 a = b; 13 if(a > c) 14 a = c; 15 if(a > d) 16 a = d; 17 return a; 18 } 19 int dp[N][N]; 20 int main() 21 { 22 freopen("in.txt","r",stdin); 23 int n,m,i,j,z,k; 24 char ch[2]; 25 scanf("%d%d%s",&n,&m,str+1); 26 for(i=0; i<n; ++i) 27 { 28 scanf("%s",ch); 29 scanf("%d%d",&cost[ch[0]-'a'].add,&cost[ch[0]-'a'].del); 30 } 31 32 for(z=2; z<=m; ++z) 33 for(i=1; i<=m-z+1; ++i) 34 { 35 j = i + z - 1; 36 if(str[i]==str[j]) 37 dp[i][j] = dp[i+1][j-1]; 38 else 39 dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + cost[str[i]-'a'].add, dp[i+1][j] + cost[str[i]-'a'].del, 40 dp[i][j-1] + cost[str[j]-'a'].add, dp[i][j-1] + cost[str[j]-'a'].del); 41 } 42 printf("%d ",dp[1][m]); 43 }
poj1141 Brackets Sequence http://poj.org/problem?id=1141
dp[i][j] 表示将区间i--->j的括号变成regular sequence的最小花费.和上面的想法都差不多。
关键是记录路径。 path[i][j] == -1时，说明i+1--->j中没有任何括号和str[i]配对，所以你需要加入一个括号与str[i]配对，path[i][j] = k时，说明str[i] 与str[k]配对。
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 const int N = 100 + 10; 4 const int INF = 1 << 30; 5 int dp[N][N]; 6 int path[N][N]; 7 char str[N]; 8 void print(int i, int j) 9 { 10 if(i > j) 11 return ; 12 if(path[i][j] == -1) 13 { 14 if(str[i]=='(' || str[i]==')') 15 printf("()"); 16 else 17 printf("[]"); 18 print(i+1,j); 19 } 20 else 21 { 22 if(str[i]=='(' || str[i]==')') 23 printf("("); 24 else 25 printf("["); 26 print(i+1,path[i][j]-1); 27 if(str[i]=='(' || str[i]==')') 28 printf(")"); 29 else 30 printf("]"); 31 print(path[i][j]+1,j); 32 } 33 } 34 int main() 35 { 36 int n,i,j,k,z; 37 gets(str+1); 38 memset(path,-1,sizeof(path)); 39 n = strlen(str+1); 40 41 for(i=1; i<=n; ++i) 42 dp[i][i] = 1; 43 for(z=2; z<=n; z++) 44 for(i=1; i<=n-z+1; ++i) 45 { 46 j = z + i - 1; 47 dp[i][j] = dp[i+1][j] + 1; 48 path[i][j] = -1; 49 for(k=i+1; k<=j; ++k) 50 { 51 if(str[i]=='(' &&str[k]==')' || str[i]=='['&&str[k]==']') 52 if(dp[i][j] > dp[i+1][k-1] + dp[k+1][j]) 53 { 54 dp[i][j] = dp[i+1][k-1] + dp[k+1][j]; 55 path[i][j] = k; 56 } 57 } 58 } 59 print(1,n); 60 puts(""); 61 }