NOIP倒数第60天

一、割点

　　1 . 割点的定义。

　　　　　　在无向连通图中，如果将其中一个点以及所有连接该点的所有边去掉，图就不再连通，那么这个点就叫做割点。

　　2 . tarjan算法的引入

　　　　　　Tarjan算法是利用时间戳来解决连通分量问题的一类优秀算法。Tarjan算通过dfs，构成一颗dfs树。在Tarjan算法中，给每个点x定义了low值和dfn值， 分别表示该点x第一次被dfs到的时间戳和点x通过访问边可以到达的最早的时间。下文中，我们用 dfn[x] 代表点x的dfn值，low[x] 代表点x的low值。

　　3 . 割点的求法

　　　　　　首先选定一个根节点，从该根节点开始遍历整个图（使用DFS），记录下每个点的low值和dfn值。 然后通过low值和dfn值来考虑一个点是否可以成为割点。

　　　　　　假如我们访问到了点x， 那么我们按照现在的时间戳给点x的dfn值和low值赋值，即 dfn[x] = low[x] = ++ dfs_clock。 

　　　　　　根据我们的定义，我们可以知道，dfn[x] 不会再改变，但是 low[x] 却不一定有那么大，x还有很多边没有访问，还有机会访问到dfs序更加小的点。

　　　　　　我们通过顺序访问与点x相连的边，然后通过手段，可以得到真正的low【x】。然后判断割点。

　　　　　　考虑点x 是否为割点:

　　　　　　　　如果该点恰好是我们dfs树的根节点，那么如果它的子树不只一个，那么该点一定为割点。

　　　　　　　　如果该点不是我们dfs树的根节点，那么我们比较它的low【x】和dfn【x】，显然如果 low【x】< dfn【x】，则x的子树中一定有边越过了点x，和一些较x更早访问过的点连在了一点，那么点x一定不是割点，否则如果low【x】 == dfn【x】，则点x一定是割点。

二、 桥

　　1 . 桥的定义

　　　　桥是存在于无向图中的一条边，如果去掉这一条边，那么整张无向图会分为两个互不连通的子图，则这条边称为桥。

　　2 . 桥的求法

　　　　　　首先对于每个联通块跑一遍Tarjan算法，得到每个点的low值和dfn值。再对于每一条边考虑这条边是否为桥。

　　　　　　枚举边x，假设这条边连接的两个点分别为x 和 y ， 其中dfn【x】< dfn【y】， 即 x 比 y 先被访问。

　　　　　　 　　如果low【y】<=  dfn【x】，则代表y可以上翻到x上面，那么我们删去边x后，以v为根的子树仍可以访问到上面，不会被分成两部分。

　　　　　　　　如果low【y】> dfn【x】，则该边为割边。

　　3 . 注意事项

　　　　　　由于实现方法的不同，我们需要注意重边的情况，如果发生重边，显然重复的边删去一条不会对图的连通性产生任何影响。

　　　　　　为了避免重边带来的错误，我们需要在dfs中下传边的编号，即连接 x - v的边的编号，而不是 点v的父亲x。

三、双连通分量

　　1 . 定义

　　　　　　对于一个连通图，如果任意两点至少存在两条点不重复路径，则称这个图为点双连通的（简称点双连通）。

　　　　　　对于一个连通图，如果任意两点至少存在两条边不重复路径，则称这个图为边双连通的（简称边双连通）。

　　　　　　点双连通图的定义等价于任意两条边都同在一个简单环中，而边双连通图的定义等价于任意一条边至少在一个简单环中。

　　　　　　对一个无向图，点双连通的极大子图称为点双连通分量（简称双连通分量），边双连通的极大子图称为边双连通分量。

　　2 . 点双连通分量的性质

　　　　　　（1）　　对于点双连通分量，删除任意一点连通性不变。其中不会含桥（否则桥两边分别选一个点都不会满足点双定义），且环与环必定有公共边（否则两个环分别选一个点都不不会满足点双的定义），且公共点至少有两个，简单圈里面的点一定属于同个强联通分量（因为彼此之间一定都有路相连，且至少有两条）。

　　　　　  （2）　　任意一个割点都至少是两个点双连通的公共点，点双连通分量一定是一个双连通分量。

　　3 . 点双连通分量的求法

　　　　　　回顾割点的求法，我们发现，当我们找到割点的时候，就已经完成了一次对某个极大点双连通子图的访问了。因此我们可以想到将dfs过程中遍历过的点保存起来。为了实现算法，我们可以在求解割点的过程中用一个栈保存遍历过的边（不可以是点，因为不同的点双连通分量之间存在公共点即割点），之后每当找到一个点双联通分量，即子节点v与父节点u满足low【v】>= dfn【u】，我们就把栈里面的边逐个pop，直到遇到当前边。

　　4 . 点双模板代码（待补）

　　5 . 边双连通求法

　　　　　让我们先用Tarjan 算法找到所有的桥，标记好桥后，再dfs一遍， 保证不走被标记的点，找到的连通块就是边双连通分量。

　　6 . 边双连通分量代码

　　　　例题戳这儿~

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 50000 + 5;

int n, m, link[maxn << 1], toit[maxn << 1], nxt[maxn << 1], cnt = 1;
bool used[maxn << 1];

void Add(int x, int y) {
    ++ cnt; toit[cnt] = y; nxt[cnt] = link[x]; link[x] = cnt;
    ++ cnt; toit[cnt] = x; nxt[cnt] = link[y]; link[y] = cnt;
}

int dfs_clock = 0, dfn[maxn], low[maxn];

void dfs(int x, int fat, int w) {
    dfn[x] = low[x] = ++ dfs_clock;
    for (int i = link[x]; i; i = nxt[i]) {
        int v = toit[i]; if (v == fat) continue;
        if (dfn[v]) low[x] = min(low[x], dfn[v]);
        else {
            dfs(v, x, i);
            low[x] = min(low[x], low[v]);
        }
    }
    if (low[x] == dfn[x]) {
        used[w ^ 1] = used[w] = true;
    }
}

int vis[maxn];

void Dfs(int x, int fat, int num) {
    vis[x] = num;
    for (int i = link[x]; i; i = nxt[i]) if (! used[i]){
        int v = toit[i]; if (v == fat || vis[v]) continue;
        Dfs(v, x, num);
    }
}

int main(void) {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
        int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
        Add(x, y);
    }
    memset(low, 0, sizeof(low));
    memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) if (! dfn[i]) dfs(i, 0, 0);
//    for (int i = 2; i <= m * 3; ++ i) if (used[i]) printf("%d
", i);
    for (int i = 1, tot = 0; i <= n; ++ i) if (vis[i] == 0) Dfs(i, 0, ++ tot);
    int Q; scanf("%d", &Q);
    while (Q --) {
        int s, t; scanf("%d%d", &s, &t);
        puts(vis[s] == vis[t] ? "Yes" : "No");
    }
    return 0;
}