数论函数基本知识

基本符号

1. ((a,b)=gcd(a,b))
2. (a ot b Leftrightarrow (a,b)=1)
3. ([mathrm{expr}]=0/1)如果表达式为真，那么值为(1)，否则为(0).

积性函数

基本概念：对于一个数论函数(f(n))，当(n ot m)时，满足(f(nm)=f(n)f(m))，那么就称(f(n))是一个积性函数。

完全积性函数：如果(n,m)不互质的时候仍然满足(f(nm)=f(n)f(m))，那么就称(f(n))是一个完全积性函数。

完全积性函数是积性函数的一个子集

一些基本的积性函数

元函数(或称为单位元):(epsilon(n)=[n=1]),判断(n)是否为(1)。

恒等函数:(I(n)=1),无论(n)取何值，函数值都为(1)。

单位函数:(mathrm{id}(n)=n),等于(n)自身。

欧拉函数:(varphi(n)=sumlimits_{i=1}^n [i ot n]),(n)以内和(n)互质的数的个数。

欧拉函数存在一些简单有用的性质：

[sumlimits_{d|n}varphi(d)=n\ sumlimits_{i=1}^n [i ot n] imes i=frac{n imesvarphi(n)}{2}\ varphi(nm)=frac{varphi(n)varphi(m)(n,m)}{varphi((n,m))} ]

对于第二个性质，稍微给一个小证明：

因为(gcd(x,n)=gcd(n-x,n))所以(n)以内和(n)互质的数一定成对出现，并且他们的和一定为(n)，这样的数对一定有(cfrac{varphi(n)}{2})个，所以这些数的总和为(cfrac{n imesvarphi(n)}{2})。

莫比乌斯函数:(mu(i))，它的定义和求值方式之后再说。

狄利克雷卷积

现在有两个数论函数(f(n),g(n)),他们的狄利克雷卷积表示为((f*g)(n))，两个积性函数的卷积一定是一个积性函数。

[(f*g)(n)=sumlimits_{d|n}f(d)g(frac{n}{d}) ]

上面欧拉函数的其中一条性质用狄利克雷卷积表示就是((varphi*I)(n)=mathrm{id}(n))

逆元:如果说((f*g)(n)=epsilon(n))，那么就称(f),(g)互为逆元，(g)可以写为(f^{-1})。一个积性函数的逆元一定是一个积性函数

单位元:((f*epsilon)=f)

结合律:((f*g)*k=f*(g*k))

莫比乌斯反演

首先解释一下,之前说的(mu(n)),其实就是(I(n))的逆元。接下来我们推一下这个函数的求值方式。

因为(mu(n))是一个积性函数，所以可以分开每个质因子进行考虑。

对于(mu(p^k))

若(k=0)，易得(mu(1)=1),

若(k=1)，因为((I*mu)(p)=0Rightarrow I(1)mu(p)+I(p)mu(1)=0Rightarrow mu(p)=-1)

若(k>2)，可以得到

[(I*mu)(p^k)=sum_{d=0}^k mu(p^d)I(p^{k-d})=sum_{d=0}^k mu(p^d) ]

可以发现，如果(k=2),因为(mu(1)=1,mu(p)=-1)，那么(mu(p^2)=0),以此类推，可以得到：

[forall~~k>1, mu(p^k)=0 ]

接着考虑所有正整数的情况：

[对n进行质因数分解，得到n=prodlimits_{i=1}^n c_i^{k_i}\ mu(n)=egin{cases} 0 &存在k_i>1\ (-1)^n &otherwise end{cases} ]

莫比乌斯反演，实际上是对于两个函数进行的变换：

[F(n)=sumlimits_{d|n}f(d)Leftrightarrow f(n)=sumlimits_{d|n}mu(frac{n}{d})F(d) ]

这个实际上证明非常简单，将其转化为狄利克雷卷积的形式：

[egin{aligned} &F(n)=(f*I)(n)\ Rightarrow& (F*mu)(n)=(f*I*mu)(n)\ Rightarrow& (F*mu)(n)=f(n) end{aligned} ]

小例题(有点难度)

解法可能和莫比乌斯没有任何关系。

给定一个正整数(n(nleq 10^{14}))，计算

[(sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{d|i} gcd(d,frac{i}{d}))mod (10^9+7) ]

直接画柿子即可：

[egin{aligned} &sumlimits_{i=1}^n sumlimits_{d|i} (varphi*I)(gcd(d,frac{i}{d}))\ =&sumlimits_{i=1}^n sumlimits_{d|i} sumlimits_{k|d,k|frac{i}{d}} varphi(k)\ =&sumlimits_{i=1}^n sumlimits_{k^2|i} varphi(k) sumlimits_{d=1}^{lfloorfrac{n}{i} floor} 1\ =&sumlimits_{i=1}^n sumlimits_{k^2|i} varphi(k) imes lfloorfrac{n}{i} floor\ =&sumlimits_{k=1}^{lfloor{sqrt{n}} floor} varphi(k) sumlimits_{i=1}^{lfloor{frac{n}{k^2}} floor} lfloor{frac{n}{ik^2}} floor end{aligned} ]

可以发现，前半部分可以使用前缀和进行计算，而后半部分可以使用整除分块。

杜教筛

现在我们需要求出一个积性函数的前缀和，
假设为(f(n))。
而(S_f(n)=sumlimits_{i=1}^n f(i))。如果n较小，可以使用线性筛求出。

但是(n>10^7)，现在需要一种较为快速的计算方法。

由于(f)是一个积性函数，可以构造两个积性函数(g,h)，满足((g*f)(n)=h(n))。而(g,h)都很容易求出。而(h)的前缀非常容易求出，而(g(1))的逆元很容易求。

[egin{aligned} sumlimits_{i=1}^n h(i) &=sumlimits_{i=1}^n sumlimits_{d|i} f(i)g(frac{d}{i})\ &=sumlimits_{d=1}^n g(d) sumlimits_{i=1}^{lfloorfrac{i}{d} floor} f(i)\ &=sumlimits_{d=1}^n g(d) S_f(lfloor{frac{n}{d}} floor)\ &= g(1)S(n) + sumlimits_{d=2}^n g(d) S_f(lfloor{frac{n}{d}} floor)\ g(1)S(n) &= sumlimits_{i=1}^n h(i) - sumlimits_{d=2}^n g(d) S_f(lfloor{frac{n}{d}} floor) end{aligned} ]

在实际实现的时候，在复杂度允许的情况下，用线性筛先将(n)较小的前缀和求出，在调用函数的时候，用一个unordered_map保存前缀和，就能加快运算。

构造例子

Example 1:(f ightarrow mu), 可以考虑构造(g ightarrow I, h ightarrow epsilon)

Example 2:(f ightarrow varphi), 考虑式子((varphi*I)=mathrm{id})，构造(g ightarrow I,h ightarrow mathrm{id})

Example 3:(f ightarrow mathrm{id} imesmu), 可以考虑构造(g ightarrow mathrm{id})，那么

[egin{aligned} (g*f)(n) &=sumlimits_{d|n} g(frac{n}{d})f(d)\ &=sumlimits_{d|n} frac{n}{d} imes mu(d) imes d\ &= nsumlimits_{d|n} mu(d)\ &= n[n=1]\ &= epsilon(n) end{aligned} ]

所以(h)函数就是(epsilon)。

Example 4:(f ightarrow mathrm{id}^2 imes varphi)。
构造(g(n)=mathrm{id}(n)^2), 那么可以得到：

[egin{aligned} (f*g)(n) &=sumlimits_{d|n} g(frac{n}{d})f(d)\ &=sumlimits_{d|n} (frac{n}{d})^2 imes d^2 imes varphi(d)\ &=n^2 sumlimits_{d|n}varphi(d)\ &=n^3 end{aligned} ]

所以(h)函数就是(mathrm{id}^3)。

附录：积性函数的线性筛法

以(varphi)为例：

void init() {
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
    if (!vis[i]) {
    	//i是一个质数
      phi[i] = i - 1;
      pri[cnt++] = i;
    }
    for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
      if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break;
      vis[i * pri[j]] = 1;
      if (i % pri[j]) {
        phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
      } else {
        phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
        break;
      }
    }
  }
}