时间序列分析的主要目的是根据已有的历史数据对未来进行预测。如餐饮销售预测可以看做是基于时间序列的短期数据预测， 预测的对象时具体菜品的销售量。
1.时间序列算法：
常见的时间序列模型;
2.时序模型的预处理
1. 对于纯随机序列，也称为白噪声序列，序列的各项之间没有任何的关系， 序列在进行完全无序的随机波动， 可以终止对该序列的分析。
2. 对于*稳非白噪声序列， 它的均值和方差是常数。ARMA 模型是最常用的*稳序列拟合模型。
3. 对于非*稳序列， 由于它的方差和均值不稳定， 处理方法一般是将其转化成*稳序列。 可以使用ARIMA 模型进行分析。
对*稳性的检验：
1.时序图检验：根据*稳时间序列的均值和方差都是常数的特性，*稳序列的时序图显示该序列值时钟在一个参数附*随机波动，而且波动的范围是有界的。如果有明显的趋势或者周期性， 那它通常不是*稳序列。
2.自相关图检验：*稳序列具有短期相关性， 这个性质表明对*稳序列而言， 通常 只有*期的序列值得影响比较明显， 间隔越远的过去值对现在的值得影响越小。 而非*稳序列的自相关系数衰减的速度比较慢。
3.单位根检验：单位根检验是指检验序列中是否存在单位根， 如果存在单位根， 那就是非*稳时间序列。 目前最常用的方法就是单位根检验。
原假设是 非*稳序列过程， 备择假设是 *稳序列， 趋势*稳过程
3.时间序列分析：
•*稳性：
•*稳性要求经由样本时间序列所得到的拟合曲线，在未来一段时间内仍然沿着现有的形态‘惯性’地延续下去。
•*稳性要求序列的均值和方差不发生明显的变化。
•弱*稳：期望和相关系数（依赖性）不变，未来某个时刻t 的值，Xt 要依赖于它过去的信息。
•差分法：时间序列在 T 与 T-1 时刻的差值（使用差分使其满足*稳性），一般差分1,2 阶就可以了。
•AR（自回归模型）：
•描述当前值与历史值之间的关系， 用变量自身的历史时间数据对自身进行预测。自回归模型必须满足*稳性的要求。
公式定义：
自回归模型的限制：
1.自回归模型是使用自身的数据进行预测的
2.必须具有*稳性
3.必须具有相关性，如果相关性小于 0.5 ， 则不宜使用
4.自回归模型只适用于预测与自身前期相关的预测。
•MA（移动*均模型）：
•移动*均模型关注的是自回归模型中的误差项的累加
•移动*均法能有效地消除预测中的随机波动。
•ARMA（自回归*均模型）：
•自回归和移动*均的结合。
•ARIMA（p,d,q）差分自回归移动*均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model ,简称ARIMA）
•AR 是自回归， p 是自回归项， MA 是移动*均， q 为移动*均项， d 为时间序列称为*稳时 所做的差分次数。
•原理： 将非*稳时间序列转换成*稳时间序列， 然后将因变量仅对它的滞后值（p阶）以及随机误差项的现值和滞后值进行回顾所建立的模型。
•ARIMA 建模流程：
•1.将序列*稳化（差分法确定 d）
•2.p 和 q 阶数的确定（ACF 和 PACF 确定）
•3.建立模型 ARIMA (p , d , q )
使用ARIMA 模型对某餐厅的销售数据进行预测
#使用ARIMA 模型对非*稳时间序列进行建模操作
#差分运算具有强大的确定性的信息提取能力， 许多非*稳的序列差分后显示出*稳序列的性质， 这是称这个非*稳序列为差分*稳序列。
#对差分*稳序列可以还是要ARMA 模型进行拟合， ARIMA 模型的实质就是差分预算与 ARMA 模型的结合。
#coding=gbk
#使用ARIMA 模型对非*稳时间序列记性建模操作
#差分运算具有强大的确定性的信息提取能力， 许多非*稳的序列差分后显示出*稳序列的性质， 这是称这个非*稳序列为差分*稳序列。
#对差分*稳序列可以还是要ARMA 模型进行拟合， ARIMA 模型的实质就是差分预算与 ARMA 模型的结合。
#导入数据
import pandas as pd
filename = r'D:datasetsarima_data.xls'
data = pd.read_excel(filename, index_col = u'日期')
#画出时序图
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #定义使其正常显示中文字体黑体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False #用来正常显示表示负号
# data.plot()
# plt.show()
#画出自相关性图
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
# plot_acf(data)
# plt.show()
#*稳性检测
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
print('原始序列的检验结果为：',adfuller(data[u'销量']))
#原始序列的检验结果为： (1.8137710150945268, 0.9983759421514264, 10, 26, {'1%': -3.7112123008648155,
# '10%': -2.6300945562130176, '5%': -2.981246804733728}, 299.46989866024177)
#返回值依次为：adf, pvalue p值， usedlag, nobs, critical values临界值 , icbest, regresults, resstore
#adf 分别大于3中不同检验水*的3个临界值，单位检测统计量对应的p 值显著大于 0.05 ， 说明序列可以判定为 非*稳序列
#对数据进行差分后得到 自相关图和 偏相关图
D_data = data.diff().dropna()
D_data.columns = [u'销量差分']
D_data.plot() #画出差分后的时序图
# plt.show()
plot_acf(D_data) #画出自相关图
# plt.show()
plot_pacf(D_data) #画出偏相关图
# plt.show()
print(u'差分序列的ADF 检验结果为： ', adfuller(D_data[u'销量差分'])) #*稳性检验
#差分序列的ADF 检验结果为： (-3.1560562366723537, 0.022673435440048798, 0, 35, {'1%': -3.6327426647230316,
# '10%': -2.6130173469387756, '5%': -2.9485102040816327}, 287.5909090780334)
#一阶差分后的序列的时序图在均值附*比较*稳的波动， 自相关性有很强的短期相关性， 单位根检验 p值小于 0.05 ，所以说一阶差分后的序列是*稳序列
#对一阶差分后的序列做白噪声检验
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
print(u'差分序列的白噪声检验结果：',acorr_ljungbox(D_data, lags= 1)) #返回统计量和 p 值
# 差分序列的白噪声检验结果： (array([11.30402222]), array([0.00077339])) p值为第二项， 远小于 0.05
#对模型进行定阶
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
pmax = int(len(D_data) / 10) #一般阶数不超过 length /10
qmax = int(len(D_data) / 10)
bic_matrix = []
for p in range(pmax +1):
temp= []
for q in range(qmax+1):
try:
temp.append(ARIMA(data, (p, 1, q)).fit().bic)
except:
temp.append(None)
bic_matrix.append(temp)
bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix) #将其转换成Dataframe 数据结构
p,q = bic_matrix.stack().idxmin() #先使用stack 展*， 然后使用 idxmin 找出最小值的位置
print(u'BIC 最小的p值 和 q 值：%s,%s' %(p,q)) # BIC 最小的p值 和 q 值：0,1
#所以可以建立ARIMA 模型，ARIMA(0,1,1)
model = ARIMA(data, (p,1,q)).fit()
model.summary2() #生成一份模型报告
model.forecast(5) #为未来5天进行预测， 返回预测结果， 标准误差， 和置信区间利用模型向前预测的时期越长， 预测的误差就会越大，这是时间预测的典型特点。
