标签（空格分隔）： 傅里叶变换
本文初衷：现在有很多傅里叶教学视频，但是一般都不系统，对于需要打下扎实基础的和我一样的大学生们貌似还不够。
前言：本文是写给大学生的通俗傅里叶变换整理资料，有些概念不做具体介绍，比如复数是啥（ps:高中生可以看看参考链接的内容）
先修课程《高等数学》
其实学习计科的博主老早就想搞明白傅里叶变换，傅里叶分析等是啥东东了，却一直害怕这些搞不懂的概念、涉及积分的相关公式，大二才开始写这篇博客，算是给自己一个交代了。
0. 开篇（围绕傅里叶）
开篇我打算讲讲傅里叶的前世今生，急着讲概念公式之前最好对傅里叶有个大概的认识。
- 傅里叶是谁？？傅里叶变换属于什么学科？
傅里叶是法国的一位数学家和物理学家，他和拉格朗日和拉普拉斯在同一个时代。身为晚辈的他和年轻的我们一样，为了追求自己的梦想，在1807年向巴黎科学院呈交了一篇关于热传导的基本论文《热的传播》，希望能被录用，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德等大师的审阅后被科学院拒绝。
傅里叶变换源于1811年傅里叶同志修改的论文，没错，就是4年前被拒绝的那篇论文。傅里叶在论文中推导出了著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。
（ps: 由于傅里叶极度痴迷热学，他认为热能包治百病，于是在一个夏天，他关上了家中的门窗，穿上厚厚的衣服，坐在火炉边，于是他被活活热死了。）
傅里叶研究始于数学，我们学习的开端自然要从《高等数学》中的傅里叶级数，欧拉函数等概念说起说起。由傅里叶级数推广到傅里叶积分。之后我们可能会探讨数字图像处理的频域变换，之后转入频域变换的一个小分支----傅里叶变换。作为计科的学生，博主对通信领域的知识一窍不通，所以尽量把高数和数字图像处理相联系。
- 傅里叶级数？傅里叶变换？傻傻分不清楚。
傅里叶提出傅里叶分析，即把任何函数分解成其他函数。（这是个数学研究领域）
Morse的文章“Fourier transforms”和Papoulisd的文章“The Fourier Integral and Its Applictions”提出把函数分解成傅里叶级数。在《高等数学》（同济版下册第十二章）中我们就学习了傅里叶级数。（这是个数学概念）
万能的高斯于1805提出快速傅里叶变换的关键步骤。（傅里叶变换是频域变换的一部分，和傅里叶积分相关但不同）
Cooley和Tukey与1965年发明实现快速傅里叶变换。早期用于计算机视觉的是Ballard和Brown所描述的傅里叶变换。
- 我到底该怎么学这些东西？？有啥用呀？？
通过找网课是最好的方式，其次是科普类的视频，再其次是博客。
网课推荐：数字图像处理与分析 中科院 刘定生（36讲）[PPT放大版]
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数字图像处理的傅里叶变换可以做旋转文本矫正。空域的卷积在频域中变为乘积。
1. 傅里叶级数与欧拉公式（一维傅里叶变换）
我们通过复习高数可以知道，以2T为周期的函数可以展开成傅里叶级数：（很多教程用周期用l表示）
欧拉公式
我们通过复习高数可以知道，欧拉公式可由级数推导（高数下P297），欧拉公式有两种形式：
或者：
傅里叶级数（一维）的复数形式
我们把欧拉公式的(sin,cos)代入傅里叶级数公式，得到傅里叶级数的复数形式：
我们构造(c_n)，并具有如下性质：
把(a_0)，(a_n)，(b_n)代入，总结得出傅里叶系数：
所以：
傅里叶积分
傅里叶积分是傅里叶级数的推广，它适用任意区间的一般函数。
推荐视频讲的很清楚-。-，一定要看呀！！！我就不手打了直接给结论：
实数的形式：
其中：C(w)为幅度谱（振幅谱），(phi(x))为相位谱。（可以思考一下-。-）
复数的形式：
傅里叶变换
我们把：
叫做傅里叶变换，得到的是振幅谱。
通常f(x)的傅里叶变换的结果F(w)为复数，(F(w) = R(x)+iI(x))
我们可以把复数形式转化为指数的形式：
其中：|F(w)|为幅度谱（振幅谱），(phi(x))为相位谱。
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换把傅里叶变换的积分变为求和。共有N个小段，编号0~N-1。
2. 二维傅里叶变换与代码
二维傅里叶变换
现在对于一维推广到二维还没有完备的频率谱收敛性证明。
我们把图像看做线性系统叠加（图像变换理论的假设），也就是说它在x、y方向上是可以独立分开的。
<懒得敲了，给一张ppt，图中(j^2=-1)>
二维图像理解
现在我们有一张Lena图，那么如何把她转化为傅里叶变换后的频谱图和相位图呢？
首先，我们的图像就是一个f，f(x,y)表示x,y点对应的像素值。
而M为图像的高（rows），y为图像的宽（cols）。
这样我们可以算出F(x,y)的实部与虚部的值（具体计算中，我们使用实数形式的傅里叶变换）
这里给出一个一维的傅里叶变换计算例子：（感谢高老师的课件）
代码实现
最简单版本，未归一化
//22.傅里叶变换
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <cmath>
#define pi 3.1415926
using namespace std;
using namespace cv;
int main()
{
Mat src = imread("images/favorite/Lena.jpg",0);
Mat dst0 = Mat(src.size() , CV_8UC1, Scalar(0));
Mat dst1 = Mat(src.size() , CV_8UC1, Scalar(0));
int M = src.rows;
int N = src.cols;
for(int i = 0; i < M; i++)
{
printf("doing:%d
", i);
for(int j = 0; j < N; j++)
{
float sum_real = 0;
float sum_magic = 0;
for(int x = 0; x < M; x++)
{
for(int y = 0; y < N; y++)
{
sum_real +=src.at<uchar>(x, y)*sin(2*pi*(i*x*1.0/M+j*y*1.0/N));
sum_magic+=src.at<uchar>(x, y)*cos(2*pi*(i*x*1.0/M+j*y*1.0/N));
}
}
float real =sum_real /(N);//把M*N改为N
float magic=sum_magic/(N);//把M*N改为N
dst0.at<uchar>(i, j) = (uchar)sqrt(real*real+magic*magic);
dst1.at<uchar>(i, j) = (uchar)atan2(magic, real);
}
}
cout << dst0;
imshow("src", src);
imshow("dst0", dst0);
imshow("dst1", dst1);
waitKey(0);
return 0;
}
跑起来很慢，因为我没有使用快速傅里叶变换算法。
OpenCV函数实现
不打算计算傅里叶变换最佳尺寸。
//23.傅里叶变换2
#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;
int main()
{
Mat src = imread("images/favorite/Lena.jpg",0);
Mat dst0, dst1;
Mat planes[] = { Mat_<float>(src), Mat::zeros(src.size(),CV_32F) };
Mat complexI;
merge(planes, 2, complexI);
dft(complexI, complexI);
split(complexI, planes);
magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);//勾股定理，幅度计算
dst0 = planes[0];
dst1 = planes[1];
log(dst0, dst0);
normalize(dst0, dst0, 0, 1, CV_MINMAX);
std::cout << dst0;
imshow("src", src);
imshow("dst0", dst0);
imshow("dst1", dst1);
waitKey(0);
return 0;
}
当然，我们可以把低频成分放在中心。这主要是因为在光学傅里叶变换中人们习惯这样做，而且这样看上去也比较好看。
参考链接汇总：
著名文章：傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06
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