欧拉函数

转载：https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/81086324

欧拉函数φ(n)是1~n-1的与n互质的数的个数

通式：φ(x) = x * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ......; (pi 为x所有质因子)；欧拉函数的几个性质

1.对于质数p，φ(p)=p−1φ(p)=p-1φ(p)=p−1。
2.若p为质数，n=pkn=p^kn=p
k
，则φ(n)φ(n)φ(n)=pkp^kp
k
-pk−1p^{k-1}p
k−1
。
3.欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。若m,n互质，则φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)φ(m*n)=φ(m)*φ(n)φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)。特殊的，当m=2，n为奇数时，φ(2*n)=φ(n)。
4.当n>2时，φ(n)是偶数。
5.小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)。
6.n=∑d∣nφ(d)n=sum_{d|n}{φ(d)}n=∑
d∣n
​
φ(d)，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n。

埃拉托斯特尼筛求欧拉函数

void solve(int n)
{

      for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
      for(int i = 2; i <= n; i++)
      if(p[i] == i){
        for(int j = i; j <= n; j+= i)
         p[j] = p[j] / i * (i-1);
      }
}

欧拉筛求欧拉函数

void euler(int n)
{
    phi[1]=1;//1要特判 
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (flag[i]==0)//这代表i是质数 
        {
            prime[++num]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++)//经典的欧拉筛写法 
        {
            flag[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉 
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子，则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子 
                break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次 
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//利用了欧拉函数是个积性函数的性质 
        }
    }
}