三个水桶等分8升水的问题

问题描述：

有三个容积分别为8升、5升、3升的水桶，其中容积为8升的水桶盛满了水，容积为5升和3升的水桶都是空的。三个水桶都没有刻度，现在需要将水桶中的8升水等分成2份，每份都是4升水。条件是只能使用这三个水桶，不能借助其他工具。

问题分析：

对于这个问题，似乎没有“规律”可循，没有专门的算法来求解，因此只能尝试使用“穷举法”来求解。

把每个状态下三个水桶中的水的体积作为status，例如status = array(8,0,0)，想要得到的status = array(4,4,0)。

这样，就把问题转化为“寻径”问题了。只需要找到status = array(8,0,0)转化到status = array(4,4,0)的“路径”即可。

对于status有如下限制：
0 <= status[0] <= 8;
0 <= status[1] <= 5;
0 <= status[2] <= 3;

在搜寻sub_status的过程中，要注意sub_status不能和current_status和其祖先相等，要不然程序会进入“环路”。一般的，current_status可以得到好几个sub_status， 如果sub_status和current_status和其祖先的其中一个相等，则忽略这个sub_status。

一共有三个水桶，则可能的“倒水”动作共有6种(3中取2的全排列)，但是在不同的status下，这6种倒水动作中有一些是不可用：①从某一个桶中倒水，但是这个桶是空的，②向某一个桶中倒水，但是这个桶已经满了。

程序设计：

按照上面的分析，可以构造一个status类：
status 类有四个protected 字段：
_values 值， 例如array(8,0,0)
_limit 限制, 这里是array(8,5,3)
_children 用来保存本对象的所有sub_status的values
_ancestors 用来保存对象本身的values和祖先的values

程序的大体思路是实例化第一个status——array(8,0,0)，在构造函数中搜索sub_status、筛选sub_status，然后实例化所有的sub_status，如果sub_status等于array(4,4,0)则停止实例化，并将_ancestors输出，这样就可以将所有的“路径”找出。

程序示例(php)：

面向对象风格

<?php
//path: document-root/obj/Status.php

class Status
{
    protected $_values;
    protected $_limit;
    protected $_children;
    protected $_ancestors;

    public function __construct(array $values, array $limit, array $ancestors)
    {
        $this->_values = $values;
        $this->_limit = $limit;
        $ancestors[] = $this->_values;
        $this->_ancestors = $ancestors;

        $this->generateChildren();
    }

    protected function generateChildren()
    {
        $children = array();

        for($i=0;$i<count($this->_values);$i++){
            for($o=$i+1;$o<count($this->_values);$o++){
                $child = $this->turnStatus($i, $o);
                if($child === array(4,4,0)){
                    $this->showResult($child);
                }
                if($child !== false && !$this->isAncestor($child) && $child !== array(4,4,0)){
                    $children[] = new Status($child, $this->_limit, $this->_ancestors);
                }

                $child = $this->turnStatus($o, $i);
                if($child === array(4,4,0)){
                    $this->showResult($child);
                }
                if($child !== false && !$this->isAncestor($child) && $child !== array(4,4,0)){
                    $children[] = new Status($child, $this->_limit, $this->_ancestors);
                }
            }
        }
        $this->_children = $children;
    }

    protected function isAncestor($value)
    {
        foreach ($this->_ancestors as $ancestor) {
            if($value === $ancestor){
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

    protected function turnStatus($i, $o)
    {
        $value = $this->_values;
        if($this->_values[$o] == 0){
            return false;
        }

        if($this->_values[$i] == $this->_limit[$i]){
            return false;
        }
        if(($this->_limit[$i] - $this->_values[$i]) <= $this->_values[$o]){
            $m = $this->_limit[$i] - $this->_values[$i];
        }else{
            $m = $this->_values[$o];
        }

        $value[$o] -= $m;
        $value[$i] += $m;
        return $value;
    }

    protected function showResult(array $child)
    {
        $path = $this->_ancestors;
        $path[] = $child;
        //print_r($path);
        Register::append('final_status', $path);
        //echo "<br/>";
    }
}

<?php
//path: document-root/main.php

require_once("obj/Status.php");
require_once("Register.php");
echo '<pre>';

$status = new Status(array(8, 0, 0), array(8, 5, 3), array());


//var_dump($status);

$paths = Register::registry('final_status');
printf("共找出 %d 种不同的方式", count($paths));

$stepNum = 0;
foreach ($paths as $key => $path) {
    if($key == 0){
        $stepNum = count($path);
    }
    $_stepNum = count($path);
    if($_stepNum < $stepNum){
        $stepNum = $_stepNum;
        $_key = $key;
    }
}
printf(" 其中，第 %d 种方式所用步数最少，为 %d 步", $_key, $stepNum-1);
print_r($paths);

<?php
//path: document-root/Register.php

class Register
{
    static protected $_data = array();


    public function __construct()
    {
    }

    static public function register($key, $value)
    {
        self::$_data[$key] = $value;
    }

    static public function append($key, $value)
    {
        self::$_data[$key][] = $value;
    }

    static public function registry($key)
    {
        if(isset(self::$_data[$key])){
            return self::$_data[$key];
        }
        return null;
    }
}

 将上面贴出来的程序按目录放在网站根目录下，访问 main.php 即可得到问题解答。

过程化风格：

<?php
//file: document-root/index.php
echo '<pre>';

$limit = array(8,5,3);
$current = array(
    'value' => array(8,0,0),
    'ancestors' => array(
    )
);
$records = array();
$tree = getChildren($current, $limit, $records);
print_r($records);


/**
 * @param $current array('value', 'children', 'ancestors')
 * @param array $limit
 * @param array $records
 * @return array
 */
function getChildren($current, array $limit, array &$records)
{
    $children = array();
    $pValue = $current['value'];

    for($i=0;$i<count($pValue);$i++){
        for($o=$i+1;$o<count($pValue);$o++){

            $child = turn($i, $o, $pValue, $limit);
            if($child !== false && !isAncestor($current, $child)){
                $children[] = $child;
            }

            $child = turn($o, $i, $pValue, $limit);
            if($child !== false && !isAncestor($current, $child)){
                $children[] = $child;
            }
        }
    }

    foreach ($children as $key => $child) {
        $current['children'][$key]['value'] = $child;

        $ancestors = $current['ancestors'];
        $ancestors[] = $pValue;
        $current['children'][$key]['ancestors'] = $ancestors;

        if($child !== array(4,4,0)){
            $current['children'][$key]['children'] = getChildren($current['children'][$key], $limit, $records);
        }else{
            $_records = $ancestors;
            $_records[] = $child;
            $records[] = $_records;
        }
    }
    return $current;
}

/**
 * @param $i
 * @param $o
 * @param $value array
 * @param $limit
 * @return bool|array
 */
function turn($i, $o, $value, $limit)
{
    if($value[$o] == 0){
        return false;
    }

    if($value[$i] == $limit[$i]){
        return false;
    }
    if(($limit[$i] - $value[$i]) <= $value[$o]){
        $m = $limit[$i] - $value[$i];
    }else{
        $m = $value[$o];
    }

    $value[$o] -= $m;
    $value[$i] += $m;
    return $value;
}

function isAncestor(array $current, array $child)
{
    $ancestors = $current['ancestors'];
    if(in_array($child, $ancestors)){
        return true;
    }
    return false;
}

在浏览器中直接访问这个文件即可。