夫琅禾费单缝衍射

单缝衍射现象如下图所示：

半波带法分析衍射图样

半波带

如上图，分析P点处是亮条纹还是暗条纹。现将 BC 分成 N 等份, 每份长度为λ/ 2, 即把波面 AB 切割成 N 个波带, 使得相邻两个波带上的对应点所发出的次波到达 P 点处的光程差均为λ/ 2 。对于某一确定的衍射角( heta)，若 BC 恰好为半波长的偶数倍，则在P点处各相邻两个子波带干涉相消，整体将呈现为暗条纹中心。若 BC 恰好为半波长的奇数倍，相邻波带的光在P点干涉相消，还剩一个波带的光到达P点，于是 P 点处将呈现为明条纹中心；衍射角越大，对应明条纹越暗。对于某衍射角，如果波振面AB不能恰好分出整数个半波带，则屏上对应点强度介于明和暗之间。

综上，暗条纹中心

egin{equation*} bsin heta=pm klambda,k=1,2,3,cdots end{equation*}

明条纹中心（近似）

egin{equation*} bsin heta=pm klambda,k=0,1,2,3,cdots end{equation*}

强度分布

研究宽度为(b)的无限长单缝产生的夫琅禾费衍射图样。假设一列平面波垂直入射到单缝上，现在需要计算透镜焦平面上的屏上的强度分布。缝可以看做是由大量等间距的点光源组成，并且认为，缝上每一点都是一个惠更斯子波源，它们发出的子波互相干涉。设点光源(A_1)，(A_2)，(A_3)，(ldots)，并设相邻点光源的间隔为(Delta)，如下图所示。

如果点光源的数目为(n)，则

[b=(n-1)Delta ]

现在需要计算(n)个点光源在点(P)的总叠加场。点(P)是透镜焦平面上任意一点，此点所能接收的平行光与狭缝法线的夹角为( heta)。实际上缝是由连续分步的点光源组成，所以在最后的结果表达式中，将是(n)趋于无穷大，(Delta)趋于零，并保持(nDelta)趋于(b)。

点(A_1)，(A_2)，(A_3)，(ldots)到点(P)的距离比缝宽(b)是很大的，所以，从这些点达到点(P)的振动的振幅几乎完全相等。但是，虽然它们到点(P)的距离只有微小的差别，但是相位差不可忽略。

对于垂直入射的平面波，在点(A_1)，(A_2)，(A_3)，(ldots)是同相位的。点(A_2)发出的波与点(A_1)发出的波的光程差为(overline{A_2A_2'})

[overline{A_2A_2'}=Delta sin heta ]

相应的相位差

[phi=frac{2pi}{lambda}Delta sin heta ]

同理，相邻点发出的相位差也是(phi)。如果点(A_1)发出的波在点(P)产生的场(E_0cos omega t)，因此，各点在点(P)产生的合振动为

[E=E_0{cos omega t+cos (omega t-phi)+ldots+cos [omega t-(n-1)phi)]} ]

如下图可计算点(P)处的合振动

计算结果为

[E=frac{E_0sinfrac{(n-1)phi}{2}}{sinfrac{phi}{2}}cos[omega t -(n-1)phi/2] ]

也可以用复数法得到上述结果。

[widetilde{E}=E_0e^{iomega t}[1+e^{-iphi}+ldots+e^{-i(n-1)phi}]=E_0e^{iomega t}frac{1-e^{-i n phi}}{1-e^{-i phi}} ]

[=E_0frac{e^{i n phi/2}-e^{-i n phi/2}}{e^{i phi/2}-e^{-i phi/2}}frac{e^{-i n phi/2}}{e^{-i phi/2}}e^{iomega t} ]

[=E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{sinfrac{phi}{2}}e^{left {ileft [omega t-(n-1)frac{phi}{2} ight ] ight }} ]

点(P)处，合振幅

[E_P=E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{sinfrac{phi}{2}}approx E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{frac{phi}{2}}=(n-1)E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{frac{(n-1)phi}{2}} ]

在(n ightarrow infty)和((n-1)Delta ightarrow b)情况下，

[frac{(n-1)phi}{2}=pi (n-1)Deltasin heta /lambda ightarrow pi bsin heta /lambda ]

令(eta=pi bsin heta /lambda)，因此有点(P)处的振动为

[E=(n-1)E_0frac{sin eta}{eta}cos(omega t - eta) ]

光强

[I=I_0frac{sin^2 eta}{eta^2} ]

其中，(I_0)为( heta=0)处的光强。

夫琅禾费单缝衍射强度分布见下图

极大值与极小值的位置

极小值的位置由下述关系给出

[eta=kpi ]

即

[bsin heta =klambda, k=pm 1,pm 2,ldots ]

极大值由以下超越方程的根给出

[ an eta=eta ]