杨氏双缝干涉

考虑频率相同，振动方向相同，具有恒定初始相位的两列波的叠加。设这两列波从空间两定点(S_1)和(S_2)发出，波源的振动可分别表示为

egin{equation*} psi_{01}=A_1cosleft (omega t+varphi_{01} ight) end{equation*}

egin{equation}
psi_{02}=A_2cosleft (omega t+varphi_{02} ight)
end{equation}

其中(varphi_{01})和(varphi_{02})分别是两波源振动的初相位。两列波同时到达空间一点(P)处，(P)点到两波源的距离分别是(r_1)和(r_2)，波速分别为(v_1)和(v_2)，如下图所示，

图1

则(P)点处的振动为

egin{equation*} psi_1=A_1cosleft [omegaleft (t-frac{r_1}{v_1} ight)+varphi_{01} ight ]=A_1cosleft (omega t+varphi_{1} ight) end{equation*}

egin{equation}
psi_2=A_2cosleft [omegaleft (t-frac{r_2}{v_2} ight)+varphi_{02} ight ]=A_2cosleft (omega t+varphi_{2} ight)
end{equation}

合振动强度

egin{equation*} I=A^2=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}cosDelta varphi end{equation*}

其中相位差为

egin{equation*} Delta varphi = omegaleft (frac{r_2}{v_2}-frac{r_1}{v_1} ight )-(varphi_{02}-varphi_{01}) end{equation*}

如果两振动相位相同，

egin{equation*} Delta varphi = pm 2kpi, k=0,1,2,dots end{equation*}

合振动强度达到最大，称为干涉相长。

如果两振动相位相反，

egin{equation*} Delta varphi = pm (2k+1)pi, k=0,1,2,dots end{equation*}

合振动强度达到最小，称为干涉相消。

对于光波，相位差

egin{equation*} egin{split} Delta varphi &= omegaleft (frac{r_2}{v_2}-frac{r_1}{v_1} ight )-(varphi_{02}-varphi_{01})\ &=frac{2pi c}{lambda}left (frac{r_2}{v_2}-frac{r_1}{v_1} ight )-(varphi_{02}-varphi_{01})\ &=frac{2pi }{lambda}(n_2r_2-n_1r_1)-(varphi_{02}-varphi_{01}) end{split} end{equation*}

其中(lambda)为波在真空中的波长，(n_1=c/v_1)和(n_2=c/v_2)分别为两波在传播路径上所经介质的折射率。

可见，相位差取决于两个因素，一是波源振动的相位差，二是折射率与路程之积的差。折射率与路程的乘积叫做光程，

egin{equation*} Delta = nr end{equation*}

(delta =n_2r_2-n_1r_1)叫做光程差。

现在我们讨论最简单的情况，(varphi_{02}=varphi_{01})，(n=1)，杨氏双缝实验就属于这一情况。杨氏双缝实验如图2所示。其中(S)是点光源，(G)是遮光板，其上开有两条平行的狭缝(S_1)和(S_2)，间距为(d)。(H)为观察屏，与(G)距离为(D)，在实验条件下(Dgg d)。(S_1)和(S_2)是同一波面上的两点，可看作新的波源，发出的次波在遮光板后面的空间叠加，这两束波的初相位相同。

图2 杨氏双缝干涉实验

相位差唯一取决于几何路程差

egin{equation*} Delta varphi = frac{2pi }{lambda}(r_2-r_1) end{equation*}

于是，出现相长干涉的条件是

egin{equation*} r_2-r_1 = pm klambda = pm (2k)frac{lambda}{2}, k=0,1,2,dots end{equation*}

即光程差是半波长的偶数倍。

出现相消干涉的条件是

egin{equation*} r_2-r_1 = pm (2k+1)frac{lambda}{2}, k=0,1,2,dots end{equation*}

即光程差是半波长的奇数倍。

如图2所示，(r_1,r_2gg d)，(S_1P)与(S_2P)可近似看做平行，于是

egin{equation*} r_2-r_1 approx dsin heta end{equation*}

其中( heta)为(P)点的角位置。

上式可以由数学得到。

egin{equation*} egin{split} r_2 &= sqrt{r^2+frac{d^2}{4}-rdcosleft (frac{pi}{2}+ heta ight )sin heta}\ \ &= sqrt{r^2+frac{d^2}{4}+rdsin heta}= rsqrt{1+frac{d^2}{4r^2}+frac{d}{r}sin heta}\ &approx rsqrt{1+frac{d}{r}sin heta} quad (约去二阶小量) \ &approx rleft (1+frac{d}{r}sin heta ight)quad (泰勒展开保留至一阶小量) end{split} end{equation*}

同理，

egin{equation*} r_1 approx rleft (1-frac{d}{r}sin heta ight) end{equation*}

于是有(r_2-r_1 approx dsin heta)。

(P)点坐标与角位置关系为

egin{equation*} x= D an hetaapprox Dsin heta end{equation*}

于是可得相长干涉（亮条纹）的位置为

egin{equation*} r_2-r_1 = dsin heta=frac{dx}{D}=pm klambda = pm (2k)frac{lambda}{2}, k=0,1,2,dots end{equation*}

出现相消干涉（暗条纹）的条件是

egin{equation*} r_2-r_1 =dsin heta=frac{dx}{D}= pm (2k+1)frac{lambda}{2}, k=0,1,2,dots end{equation*}

即出现亮条纹的位置为

egin{equation*} x =pm k frac{D}{d}lambda, k=0,1,2,dots end{equation*}

即出现暗条纹的位置为

egin{equation*} x =pm (2k-1) frac{D}{d}lambda, k=0,1,2,dots end{equation*}

其中，(k)称为条纹的级次。

相邻明（或暗）条纹的间距为

egin{equation*} Delta x =frac{D}{d}lambda end{equation*}

条纹是等间距排列的。条纹间距与双缝到观察屏的距离成正比，与双缝间距成反比。

条纹间距与双缝间距成反比。

条纹间距与波长成正比。

条纹间距与波长成正比

如果用白光做光源，除中央亮条纹外，起于各级条纹都带有各种颜色。对于级数较大的条纹，不同级次的条纹因互相重叠而使条纹模糊，因此用白光做干涉实验可以辨认的条纹数目很少，实验一般采用单色光。

现在讨论，观察屏上光强的分布。设两列波的光强相等，均为(I_0)，则叠加之后的光强为

egin{equation*} egin{split} I&=A^2=I_0+I_0+2I_0cosDelta varphi = 2I_0(1+cosDelta varphi)=4I_0cos^2frac{Deltavarphi}{2}\ &=4I_0cos^2frac{pi dsin heta}{lambda}=4I_0cos^2frac{pi dx}{Dlambda} end{split} end{equation*}