电介质
电介质就是绝缘体。电容器两极板之间往往夹有电介质。这样做的好处是,一提高电容器的力学稳定性。二是增加两极板之间的最大容许电势差,以免电容器被击穿。一般而言,电介质的击穿电压高于空气。三是,能提高电容器电容。电容器插入电容器后,电容器两极板之间的电压会减小,如图1所示。
图1 将电介质插入电容器后,两极板间电压减小
电介质插入前后,电容器两极板间电势差分别为(U_0)和(U),二者的比值为
egin{equation*} epsilon_r=frac{ U_0}{U} gt 1 end{equation*}
电容比值为
egin{equation*} epsilon_r=frac{ C}{C_0} end{equation*}
常数(epsilon_r)为相对介电常数,也称相对电容率,这是一个无量纲的数。真空的相对介电常数定为1,空气的相对介电常数为1.0006,非常接近1。
极化
电容器极板间插入电介质,两极板电势差减小,说明两极板间的电场减弱了。对于平行板电容器,电介质插入前后的电场(E_0)和(E)的关系为:
egin{equation*} E=frac{E_0}{epsilon_r} end{equation*}
电场变小,说明表面电荷密度也要变小,极板上的电荷不会发生变化,但是会在电介质上表面诱导出相反电荷。电介质是电中性的,放入电容器之间仍然会保持为电中性,但是会重现排布电介质内的电荷,这种现象叫做极化。
一个中性分子所带正电荷与负电荷的量值总是相等的。但一般情况下,每个分子内的正、负电荷都不是集中在一点而是分布在分子所占体积之中的,线度为(10^{-10}mathrm m)数量级内的体积。
有些电介质的分子的等效正、负电荷中心不重合的电介质称为有极分子电介质。如 HCl 、 H2O、CO、SO2、NH3、……。其分子有等效电偶极子,它们的电矩称作分子的固有电矩。
图2 有极分子
有些电介质的分子的等效正、负电荷中心重合的电介质称为无极分子电介质,分子的固有电矩为 0 ,如所有的惰性气体及CH4等。
图3 无极分子
无外电场时,无极分子电介质固有电矩为零,呈电中性。对有极分子电介质,因其无规则热运动,每个分子的固有电矩的取向都是杂乱无章的,故在介质内任取一个小体积元,各个分子电矩的矢量和必定为零,也呈电中性。
)
图4 无外场时,无极分子和有极分子都呈电中性
对于无极分子,在外电场作用下,分子正电中心和负电中心发生相对位移,形成附加分子偶极子,此称为位移极化。
图5 无极分子位移极化
有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称为取向极化。
图6 有极分子取向极化
由于极化,在介质表面产生的电荷称为极化电荷。由于这种电荷不能移动,被束缚在介质表面,不能与导体板上的电荷中和,故又称为束缚电荷。这种电荷是施加外电场产生的,因此又叫做诱导电荷。
极化电荷也会产生一个电场。
下面我们看下平行板电容器间极化电荷面密度(sigma')与极板上的电荷面密度(sigma_0)的关系,它们分别产生的电场为(E')和(E_0),总的电场为二者的叠加,
图7 平行板电容器间的退极化场
egin{equation*} E=E_0-E'=frac{sigma_0}{epsilon_0}-frac{sigma'}{epsilon_0}=frac{E_0}{epsilon_r}=frac{sigma_0}{epsilon_0epsilon_r} end{equation*}
于是有
egin{equation*} sigma'=sigma_0left (1-frac{1}{epsilon_r} ight ) end{equation*}
极化强度矢量
电介质放入电场以后,电介质的分子会发生位移极化或取向极化,产生附加电场,附加电场又会对电介质分子产生作用,进一步改变极化程度,这种相互作用和相互影响直到达到平衡为止。所以说,电介质的极化会持续一定时间的。
电介质的极化程度与每个分子的电偶极矩有关,还与电偶极矩排列的整齐程度。为了描写极化程度,我们引入极化强度矢量,定义为电介质内单位体积内分子电偶极矩矢量和:
egin{equation*} vec{P}=frac{sum vec{p}_{mol}}{Delta V} end{equation*}
式中(Delta V)为宏观上无穷小的体积元,(sum vec{p}_{mol})为体积元(Delta V)内分子电偶极矩矢量和。
电介质未被极化时,(vec{P}=0),对于无极分子,因为(vec{p}_{mol}=0),对于有极分子,(vec{p}_{mol} eq 0),但(sum vec{p}_{mol}=0)。
极化强度(vec{P}=0)与极化电荷密切相关。
先考虑均匀电介质,即分子的数密度处处相等,极化也是均匀的,且电场也是均匀的,假定分子电偶极矩都沿电场方向排列,如图8所示。在电介质内部,电偶极子首尾相接,电荷效应互相抵消,但是在电介质表面,一边聚集电偶极子的头,一边聚集电偶极矩的尾,因而电介质表面上有了电荷分布。这种电荷是因为电介质极化而产生的,故称为极化电荷。
图8 均匀极化电介质表面的极化面电荷
对于两种不同的(包括组分相同但密度不同的情况)均匀电介质,除了电介质表面出现计划电荷外,两种介质的界面上也会出现极化电荷,如图9所示。
图9 两种均匀极化电介质界面处的极化面电荷
如果电介质是由很多很多均匀电介质小块“混合”而成的,如果小块非常小,以致整个介质内部处处都有界面,在界面上有面电荷分布,结果在介质内部实际出现了体分布的极化电荷。这种由无限多种(包括密度不同)的电介质组成的电介质实际上就是非均匀电介质。所以,非均匀电介质极化后,不但在电介质表面有极化电荷分布,电介质内部也有极化电荷分布。
考虑一种已经极化的电介质,在其内部取体积为(V)的一块介质作为研究对象,这块介质的表面为(S),如图10所示。显然,完全处在体积(V)内的电偶极子对(V)内的净电荷没有贡献,全部位于(V)之外的电偶极子当然对(V)内的净电荷也没有贡献。对(V)内的净电荷有贡献的电偶极子是那些被(S)面截断的电偶极子。
图10 包围在闭合曲面内的极化电荷取决于被面所截的电偶极子
下面我们计算被(S)面截断的电偶极子的数目。在(S)面上取面积元(mathrm dS),面积元的外法向单位矢量为(vec{e}_n)。面积元上各点可以认为极化强度矢量(vec{P})相同,分子的偶极子都有相等的(q)和(vec{l}),因此有相等的电偶极矩(vec{p}_{mol}=vec{p}=qvec{l}),且(vec{p})与(vec{P})平行,与(vec{n})夹角为( heta)。在面积元(mathrm dS)两侧对称地做一斜柱体,如图11所示。显然,中心位于斜柱体内的电偶极子都被面积元(mathrm dS)所截。斜柱体的体积为(l|cos heta|mathrm dS),设单位体积内电偶极子数目为(n),因此被面积元(mathrm dS)所截的电偶极子数目为(nl|cos heta|mathrm dS),在体积(V)内贡献的电量为
egin{equation*} mathrm dq'=-nqlcos hetamathrm dS=-vec{P}cdotmathrm dvec{S} end{equation*}
上式中的负号可按如下考虑:当( heta)为锐角时,被截的偶极子把负电荷留在体积(V)内,因此需要加一负号才可以使(mathrm dq'lt 0)。同样可分析( heta)为钝角的情况。
图11 被面元所截的电偶极子
上式对整个闭合曲面积分,即得体积(V)内极化电荷的净电量:
egin{equation*} q'=-ointvec{P}cdotmathrm dvec{S} end{equation*}
即电介质内部任意体积(V)内极化电荷的净电量等于极化强度对包围(V)的闭合曲面的通量的负值。
有电介质时的高斯定理
当外电场中存在电介质时, 由于极化将引起周围电场的重新分布。 这时空间任一点的电场将由自由电荷(q_0)和束缚电荷(q')共同产生,电场与电荷满足高斯定理:
egin{equation*} oint vec{E}cdotmathrm dvec{S}=frac{1}{varepsilon_0}sum_{内}(q_0+q') end{equation*}
由于介质中的束缚电荷难以测定, 即使满足对称性要求, 仍很难用上式求出电场强度。
我们以平行板电容器为例,说明有电介质时的高斯定理。如图所示,做高斯面,根据高斯定理,有
图8 有电介质时的高斯定理
egin{equation*} oint vec{E}cdotmathrm dvec{S}=frac{1}{varepsilon_0}(sigma_0-sigma')S end{equation*}
又
egin{equation*} sigma'=sigma_0left (1-frac{1}{varepsilon_r} ight ) end{equation*}
于是,有
egin{equation*} oint epsilon_0epsilon_rvec{E}cdotmathrm dvec{S}=sigma_0 S end{equation*}
引入电位移矢量 (vec{D}=epsilon_0epsilon_rvec{E}),则有
egin{equation*} oint vec{D}cdotmathrm dvec{S}=sigma_0 S end{equation*}
上式可推广至一般情况:
egin{equation*} oint vec{D}cdotmathrm dvec{S}=sum_{内}q_0 end{equation*}
这正是有电介质时的高斯定理。通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷的代数和, 与极化电荷及高斯面外电荷无关。
下面我们用更严格的方式,给出有电介质时的高斯定理。
极化强度(vec{P})由电介质内的总电场(vec{E})决定,而总电场(vec{E})是外电场(vec{E}_0)和极化电荷的电场(vec{E}')的矢量和:
egin{equation*} vec{E}=vec{E}_0+vec{E}' end{equation*}
对于各向同性线性介质,极化强度(vec{P})与总场强(vec{E})成线性关系:
egin{equation*} vec{P}=varepsilon_0chi_evec{E} end{equation*}
其中(chi_e)称为极化率,与场强(vec{E})无关,是电介质材料本身的性质,反映了电介质极化难易的程度。极化率(chi_e)是个无量纲的数。
有电介质存在的时候,库仑定律,也即高斯定理,依然成立,只不过计算总电场的电通量时,应计及高斯面内的自由电荷(q_0)和极化电荷(q'):
egin{equation*} oint vec{E}cdotmathrm dvec{S}=frac{1}{varepsilon_0}sum_{内}(q_0+q') end{equation*}
而
egin{equation*} sum_{内}q'=-ointvec{P}cdotmathrm dvec{S} end{equation*}
于是,有
egin{equation*} oint (varepsilon_0vec{E}+vec{P})cdotmathrm dvec{S}=sum_{内}q_0 end{equation*}
引入物理量(vec{D}):
egin{equation*} vec{D}=varepsilon_0vec{E}+vec{P}=varepsilon_0vec{E}+varepsilon_0chi_evec{E}=(1+chi_e)varepsilon_0vec{E}=varepsilon_0varepsilon_rvec{E} end{equation*}
(vec{D})称为电位移矢量,(varepsilon_r=1+chi_e)叫做相对介电常数。有电介质时的高斯定理为:
egin{equation*} oint vec{D}cdotmathrm dvec{S}=sum_{内}q_0 end{equation*}
例 在半径为(R)的金属球之外有一层半径为(R´)的均匀介质层,设电介质相对电容率为(varepsilon_r),金属球带电量为(Q) 。求(1)求电场分布,(2)求电势分布
根据高斯定理,
egin{equation*} oint vec{D}cdotmathrm dvec{S}=D imes 4pi r^2=Q end{equation*}
于是有,
egin{equation*} D=frac{Q}{4pi r^2} end{equation*}
介质内电场:
egin{equation*} E_1=frac{D}{varepsilon_0varepsilon_r}=frac{Q}{4pivarepsilon_0varepsilon_r r^2} end{equation*}
介质外电场:
egin{equation*} E_2=frac{D}{varepsilon_0}=frac{Q}{4pivarepsilon_0 r^2} end{equation*}
介质内电势
egin{equation*} U_1=int_r^{R'} E_1mathrm dr+int_{R'}^{infty} E_2mathrm dr=frac{Q}{4pivarepsilon_0varepsilon_r }left(frac{1}{r}+frac{varepsilon_r-1}{R} ight) end{equation*}
介质外电势
egin{equation*} U_2=int_{r}^{infty} E_2mathrm dr=frac{Q}{4pivarepsilon_0varepsilon_r r} end{equation*}
参考资料
- 郑永令《电磁学》
- 赵凯华《电磁学》