电磁学讲义4：连续带电体的电场

任意形状带电体

点电荷是一种理想模型，只有当场点到带电体距离比带电体本身的线度大得多的时候，源电荷才可以看做点电荷。当考察带电体附近的电场的时候，带电体就不能看做点电荷，必须考虑带电体的大小和形状，以及电荷在带电体上的分布。对于任意形状的带电体，可以把带电体分割成很多很小的电荷元 (mathrm dq)，每一个电荷元可以看做一个点电荷，则每个电荷元独自产生的电场为

egin{equation*} mathrm dvec{E}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{mathrm dq}{r^2}hat{r} end{equation*}

式中 (r) 为 电荷元 (mathrm dq) 到场点的距离，(hat{r}) 为电荷元指向场点的单位矢量。

图为电荷元在 (P) 点产生的电场

根据叠加原理，整个带电体在场点产生的电场为：

egin{equation*} vec{E}=int mathrm dvec{E}=frac{1}{4pivarepsilon_0} int frac{mathrm dq}{r^2}hat{r} end{equation*}

在上面的讨论中，已经认为电荷在带电体上是连续分布的，但是我们前面讲过，电量是量子化的，是不连续的，这不矛盾吗？宏观带电体的电量包含着极大量的基元电荷，因此在宏观范围内，可以认为电荷是连续的“粘”在带电体上，不需要考虑电荷的不连续性。

根据不同的情况，有时可以把电荷看成在一定体积内连续分布（体分布），有时可以把电荷看成在一定平面内连续分布（面分布），有时可以把电荷看成在一定曲线上连续分布（线分布），等等，与此相应，可以引入电荷的体密度、面密度、线密度。

电荷体密度就是单位体积内的电量，取一体积元 (Delta V)，此体积元内的电量为 (Delta q)，则电荷体密度为：

egin{equation*} ho=lim_{Delta V ightarrow 0} frac{Delta q}{Delta V}=frac{mathrm dq}{mathrm dV} end{equation*}

这里(Delta V ightarrow 0) 与 数学上的 (Delta V) 趋于0的意义是不同的。在物理上，(Delta V ightarrow 0) 表示宏观上足够小，而在微观上又足够大，包含有大量的基元电荷。

电荷面密度为：

egin{equation*} sigma=lim_{Delta S ightarrow 0} frac{Delta q}{Delta S}=frac{mathrm dq}{mathrm dS} end{equation*}

电荷线密度为：

egin{equation*} eta=lim_{Delta l ightarrow 0} frac{Delta q}{Delta l} = frac{mathrm dq}{mathrm dl} end{equation*}

同样地，这里 (Delta S ightarrow 0) 和 (Delta l ightarrow 0) 也表示宏观上足够小，而在微观上又足够大。

例题

例1 求均匀带电细棒中垂面上的场强分布，设棒长为(2l)，电量为 (q)。
选细棒中点 (O) 为坐标原点，沿细棒向上为 (z) 轴。选细棒中垂面上一点 (P)，到细棒距离为 (r)，由对称性可知，(P) 点场强沿垂直细棒的方向。

图为求均匀带电细棒中垂面上的场强分布

(z) 处电荷元在 (P) 点处场强沿 (overline{OP})方向的分量为

egin{equation*} mathrm dE_{perp}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{mathrm dq}{r^2}cosalpha=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{ eta mathrm dz}{r^2+z^2}frac{r}{sqrt{r^2+z^2}} end{equation*}

(P)点处场强为：

egin{equation*} egin{split} E=&int mathrm dE_{perp}=frac{eta}{4pivarepsilon_0}int_{-l}^l frac{r}{(r^2+z^2)^{3/2}}mathrm dz=frac{eta l}{2pivarepsilon_0 r sqrt{r^2+l^2}}\ =&frac{q}{4pivarepsilon_0 r sqrt{r^2+l^2}} end{split} end{equation*}

讨论：

1. 当场点距离细棒非常远的时候，(rgg l)，此时，(E=frac{q}{4pivarepsilon_0 r^2})，细棒可以看做点电荷。
2. 当场点距离细棒非常近的时候，(rll l)，此时，(E=frac{eta}{2pivarepsilon_0 r})。

例2 求均匀带电圆环轴线上的电场，圆环半径为 (R)，电量 (q)。

图为均匀带电圆环轴线上一点的场强

电荷元 (mathrm dq) 在 (P) 点的场强：

egin{equation*} mathrm dvec{E}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{mathrm dq}{r^2}hat{r} end{equation*}

根据对称性，均匀带电圆环在 (P) 点的合场强沿 (x) 轴方向，如下图：

对称的电荷元在P点的场强，垂直对称轴的分量抵消，只留下平行对称轴的分量。

均匀带电圆环在 (P) 点产生的电场为：

egin{equation*} egin{split} vec{E}=&hat{i}int mathrm d E cos heta =frac{1}{4pivarepsilon_0}int frac{mathrm dq}{x^2+R^2}frac{x}{sqrt{x^2+R^2}}hat{i}\ =&frac{hat{i}}{4pivarepsilon_0}frac{x}{(x^2+R^2)^{3/2}}int mathrm dq = frac{hat{i}}{4pivarepsilon_0}frac{qx}{(x^2+R^2)^{3/2}} end{split} end{equation*}

讨论：

1. 当 (x=0)时，(E=0)，根据对称性能猜到的结果。
2. 当场点距离圆环非常远的时候，(xgg R)，(E=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{q}{x^2})，这正是点电荷的电场。

例3 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度
半径为 (R)，电量为 (q)，电荷面密度为 (sigma=frac{q}{pi R^2})。把带电圆盘分割成一系列宽为 (mathrm dr) 的带电圆环，把每个带电圆环看做电荷元，电荷元电量 (mathrm dq=sigma 2pi r mathrm dr)，电荷元在 (P) 点产生的电场为

egin{equation*} mathrm dvec{E}= frac{hat{i}}{4pivarepsilon_0}frac{mathrm dqx}{(x^2+R^2)^{3/2}} end{equation*}

将带电薄圆盘分割成一系列圆环

带电薄圆盘在 (P) 点处的电场强度为：

egin{equation*} egin{split} vec{E}=&int mathrm dvec{E}= frac{hat{i}}{4pivarepsilon_0}int frac{x}{(x^2+r^2)^{3/2}}mathrm dq\ =&hat{i} frac{sigma x }{2varepsilon_0} int_0^{R} frac{r}{(x^2+r^2)^{3/2}}mathrm dr\ =&frac{sigma x }{2varepsilon_0} left (frac{1}{sqrt{x^2}}-frac{1}{sqrt{x^2+R^2}} ight )hat{i} end{split} end{equation*}

讨论：

1. 当场点非常靠近圆盘时，(xll R)，(E=frac{sigma }{2varepsilon_0})，这是无限大均匀带电平面附近的电场分布。
2. 当场点距离圆盘非常远时，(xgg R)，电场可化为：

egin{equation*} E= frac{sigma }{2varepsilon_0} left [1-left(1+frac{R^2}{x^2} ight)^{-1/2} ight ] end{equation*}

(xgg R) 时，

egin{equation*} left(1+frac{R^2}{x^2} ight)^{-1/2} approx 1-frac{1}{2}frac{R^2}{x^2} end{equation*}

于是有

egin{equation*} E= frac{sigma }{4varepsilon_0}frac{R^2}{x^2}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{q}{x^2} end{equation*}

正是点电荷的电场分布。

例题3另一种解法。
用极坐标处理带电圆盘，取面积元 (mathrm dS=rmathrm drmathrm d heta)，则电荷元 (mathrm dq=sigma mathrm dS=sigma rmathrm drmathrm d heta)，由于对称性，可以只考虑电荷元在 (P) 点处的场强 (x) 分量，

egin{equation*} mathrm dE_x= frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{xmathrm dq}{(x^2+r^2)^{3/2}}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{xsigma rmathrm drmathrm d heta}{(x^2+r^2)^{3/2}} end{equation*}

带电圆盘在 (P) 点处的场强为：

egin{equation*} egin{split} E=&int mathrm dE_x= frac{sigma x}{4pivarepsilon_0}int_0^R frac{ rmathrm dr}{(x^2+r^2)^{3/2}}int_0^{2pi}mathrm d heta \ =&frac{sigma x }{2varepsilon_0} int_0^{R} frac{r}{(x^2+r^2)^{3/2}}mathrm dr end{split} end{equation*}

剩余计算过程与前述方法一样。

作业

作业：习题1-12
科研训练：1 检索文献资料，了解均匀带电圆环的电场分布的计算。2 检索文献资料，找出一种还未被研究过或研究不完全的特殊形状的带电体，计算其电场分布。

参考资料

• 贾启民《电磁学》
• 赵凯华《电磁学》