理论物理极础之插播数学3：偏微分

“看那边，莱尼，那边的山和山谷美吗？”
“美，乔治。等我们有钱了我们能去那里吗？可以吗？”
乔治眯起眼睛：“你说的地方具体是哪里啊，莱尼？”
莱尼用手一指：“就是那里，乔治，那个小山谷。”

偏导数

多变量函数微积分是单变量函数微积分的推广。考虑一个多变量函数(V(x,y,z))，自变量为(x)、(y)、(z)，这里它们不一定代表是坐标。另外，自变量数目可以多于或少于3个。

多变量微分的核心概念是偏导数。我们考虑一点((x,y,z))的邻域，固定(y)和(z)，看看(V)随(x)的变化率。我们想象(y)和(z)不变，那函数相当于只剩一个变量(x)了，那么(V)的导数就是

egin{equation}frac{dV}{dx}=lim_{Delta x ightarrow 0}frac{Delta V}{Delta x}label{eq:der}end{equation}

其中(Delta V)定义为

egin{equation}Delta V=V(x+Delta x,y,z)-V(x,y,z)label{eq:dV}end{equation}

注意到，(Delta V)定义中，只有(x)有变化，(y)和(z)都没有变化。

方程( ef{eq:der})和( ef{eq:dV})定义的导数称为(V)对(x)的偏导数，记为

[frac{partial V}{partial x} ]

如果我们想强调(y)和(z)不变，也可记为

[left(frac{partial V}{partial x} ight)_{y,z} ]

同样地，我们可以定义函数对另外任何一个变量的偏导数，如对(y)的偏导数为：

[frac{partial V}{partial y}=lim_{Delta y ightarrow 0}frac{Delta V}{Delta y} ]

(V)对(y)的偏导也可记为如下简化符号：

[frac{partial V}{partial y}=partial_y V ]

多级导数也可定义。把(frac{partial V}{partial x})看成(x)、(y)、(z)的函数，也可以对其求微分。函数(V)对(x)二阶偏导为：

[frac{partial^2 V}{partial x^2}=partial_xleft(frac{partial V}{partial x} ight)=partial_{x,x}V ]

还可定义混合偏导。比如，(partial_y V)对(x)的偏导为

[frac{partial^2 V}{partial x partial y}=partial_xleft(frac{partial V}{partial y} ight)=partial_{x,y}V ]

混合偏导一个有趣并且很重要的性质是混合偏导与求导顺序无关，即

[frac{partial^2 V}{partial x partial y}=frac{partial^2 V}{partial y partial x} ]

练习1：求以下二元函数的一阶和二阶偏导（包括混合偏导）：(F(x,y)=x^2+y^2)、(F(x,y)=sin(xy))、(F(x,y)=frac{x}{y}e^{(x^2+y^2)})、(F(x,y)=e^xcos y)

（注：原文函数有误：(x^2+y^2=sin(xy))、(frac{x}{y}e^{x^2+y^2})）

驻点和函数极值

考虑一个一元函数(F(y))，如图1所示。

图1. 函数F(y)的图

在曲线上一些地方，(y)往任何方向变化，都会使函数值(F)增大，这些地方称为极小值点，见图2中的标记，

图2.极小值点

在每个局域极小点往(y)的任何方向走，你都会高于点(F(y))。每个点都处在一处洼地的底部。曲线上最低的极小值点称为最小值点。

函数在某点取极小值的一个条件是函数在此点对独立变量的导数为0。这是个必要条件，但不是充分条件。满足这一条件的点为驻点：

[frac{dF(y)}{dy}=0 ]

要判断是不是极小值点还需要看看驻点的性质，也即对函数求二阶导数。如果二阶导数大于0，

[frac{d^2F(y)}{dy^2}>0 ]

那么附近各点都高于驻点，此驻点为函数的极小值点。

如果函数在驻点的二阶导数小于0，

[frac{d^2F(y)}{dy^2}<0 ]

那么附近各点都低于驻点，此驻点为函数的极大值点。见图3中标注各点。

图3.极大值点

如果函数在驻点的二阶导数等于0，

[frac{d^2F(y)}{dy^2}=0 ]

函数的导数在驻点改变符号，此驻点称为函数的拐点。

图4为拐点示例。

图4.拐点

高维驻点

多变量函数也有极小值点、极大值点和驻点。想象一片山地，海拔高度是纬度和经度的函数，把函数记为(A(x,y))，山峰和山谷分别为极大值点和极小值点。这些点还不是山区仅有的局部平坦的地方，还有两山之间的鞍点。见图5所示。

图5.多变量函数

在山峰处，你不管往哪个方向走，你都会往低处走。在山谷处正相反，你不管往哪个方向走，你都会往高处走。但是这些地方都是平的。

还有些地方是平的。两山之间有些地方称为山鞍，鞍点也是平的。在鞍点你沿某个轴的任意方向，你的高度会上升，但是如果你沿垂直轴的任意方向走，你的高度又下降。

沿着(x)轴把山切开，并使刀片通过(A)的一个极小值点，见图6所示。

图6.沿x轴切割函数

很明显，在极小值点(A)对(x)的导数为0，即

[frac{partial A}{partial x}=0 ]

同样地，我们也可以沿(y)轴把山切开，于是也有

[frac{partial A}{partial y}=0 ]

即在极小值点，或在驻点，函数对每个变量的一阶导数都为0。如果(A)的方向空间多于两个，在驻点(A)对所有方向(x_i)的导数都为0：

egin{equation}frac{partial A}{partial x_i}=0 label{eq:Mstat}end{equation}

以上方程有个简记法。当一点(x)变化一点点，函数值的改变量为

[delta A=sum_ifrac{partial A}{partial x_i}delta x_i ]

方程( ef{eq:Mstat})等价于

egin{equation}delta A=0 label{eq:Mstateq}end{equation}

假设我们已经找到满足以上条件的一点，我们如何知道这一点是对应极小值点还是极大值点，抑或鞍点？我们需要看二阶导数。但是二阶导数有很多。比如对于二维的情况，我们有以下二阶导数：(frac{partial^2 A}{partial x^2})、(frac{partial^2 A}{partial y^2})、(frac{partial^2 A}{partial x partial y})、(frac{partial^2 A}{partial y partial x})，最后两个结果相等。

这些二阶导数写在一起，组成一个矩阵，这个矩阵叫做海森矩阵：

egin{equation*}H=egin{pmatrix}frac{partial^2 A}{partial x^2}&frac{partial^2 A}{partial x partial y}\frac{partial^2 A}{partial y^2}&frac{partial^2 A}{partial y partial x}\ end{pmatrix}end{equation*}

关于矩阵的重要的量是行列式和迹。海森矩阵的行列式为

[mathrm{Det} H=frac{partial^2 A}{partial x^2} frac{partial^2 A}{partial y^2}-frac{partial^2 A}{partial x partial y} frac{partial^2 A}{partial y partial x} ]

迹为

[mathrm{Tr} H=frac{partial^2 A}{partial x^2}+ frac{partial^2 A}{partial y^2} ]

这里不具体解释矩阵、行列式和迹这些概念。你知道有这些东西还有以下规则就可以了：
如果海森矩阵的行列式和迹都是正的，那么对应的驻点为极小值点。
如果海森矩阵的行列式是正的，迹都是负的，那么对应的驻点为极大值点。
如果海森矩阵的行列式是正的，不管迹符号为何，对应的驻点为鞍点。

这里只写出了两变量函数的具体规则。对于更多变量的函数，规则的形式更为复杂。下面我们具体算一下两变量函数。比如，考虑函数

[F(x,y)=sin x + sin y ]

求导，

[frac{partial F}{partial x}=cos x ]

[frac{partial F}{partial y}=cos y ]

由于(cosfrac{pi}{2}=0)，显然点((pi/2,pi/2))是一个驻点。

要知道这个点的类型，还得计算二阶导数

[frac{partial^2 F}{partial x^2}=-sin x ]

[frac{partial^2 F}{partial y^2}=-sin y ]

[frac{partial^2 F}{partial x partial y}=frac{partial^2 F}{partial y partial x}=0 ]

由于(sinfrac{pi}{2}=1)，计算海森矩阵的行列式和迹，行列式和迹都大于0，所以点((pi/2,pi/2))是个极小值点。

练习2：考虑以下各点((pi/2,-pi/2))、((-pi/2,pi/2))、((-pi/2,-pi/2))，判断这些点是不是以下函数(F(x,y)=sin x +sin y)、(F(x,y)=cos x)的驻点，并判断驻点的类型。