hdu 2824 The Euler function

题目链接：hdu 2824 The Euler function

计算欧拉函数，欧拉函数$phi(x)$等于不超过$x$且与$x$互质的整数的个数。这里有两种求解方法：

方法一：

显然欧拉函数有如下三个性质：

1、$phi(x=p) = p-1$，当$x$是质数时，$kin[1,p-1]$的$p-1$个数都与$p$互质。

2、$phi(x=p^n) = p^n - p^{n-1}$，当$x$是质数的$n$次方时，除了$p,2p,3p,cdots,p^{n-1}p$这$p^{n-1}$个数以外的数都与$x$互质。

3、$phi(x = ab) = phi(a)phi(b)$，当$x$等于两个数相乘时，其欧拉函数具有乘性。对于等式左边建立$phi(ab)$个数的集合，对于等式右边建立$phi(a)phi(b)$个有序对，即从与$a$互质和与$b$互质的数的集合中各选一个组成有序对。根据中国剩余定理，可以发现这两个集合一一对应。

从而可以得到对任意整数$x$的欧拉函数值为：

egin{equation} phi(x = prod_i^j p_i^{k_i} )= prod_i^j p_i^{k_i} - p_i^{k_i-1} end{equation}

 但是该方法需要对$x$进行质因数分解，因而编程实现的复杂度较高。

方法二：

对于求$phi(x = prod_i^j p_i^{k_i})$，可以使用容斥原理。即：

egin{equation} phi(x) = sum_{S subset{p_i,iin[1,j]}} (-1)^{|S|} frac{x}{prod_{p_iin S}p_i}end{equation}

可以化简为：

egin{equation} phi(x) = xprod_{i = 1}^j(1-frac{1}{p_i})end{equation}

原因是可以展开上式即从每一项中选择$1$或者$-frac{1}{p_i}$，全部乘起来在乘以$x$得到。与2式定义相同。

对于该题，先使用筛法来求得给定范围内所有数的欧拉函数值，在进行求和。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define     MAXN 3000003
using namespace std;
int phi[MAXN];
void init()
{
    for( int i = 1 ; i < MAXN ; i++ )
    {
        phi[i] = i;
    }
    for( int i = 2 ; i < MAXN ; i++ )
    {
        if( phi[i] == i )
        {
            phi[i] = i -1;
            for( int j = i*2 ; j < MAXN ; j += i )
            {
                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    int a, b;
    init();
    while( scanf("%d%d", &a, &b) != EOF )
    {
        long long ans = 0;
        for( int i = a ; i <= b ; i++ )
        {
            ans += phi[i];
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}