最大公约数的欧几里德[辗转相除]算法及其扩展

欧几里德算法描述：

E1.[求余数]

       以n除m并令r为所得余数。(我们将有0 ≤ r ≤ n。)

E2[余数为0？]

       若r=0，算法结束，n即为答案。

E3[减少]

       置m←n， n←r，并返回步骤E1.

其原理依赖于下面的定理：

gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

 证明：

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a, b的一个公约数，则有

d | a, d | b，而r = a - kb，因此d | r

因此d是(b, a mod b)的公约数

 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

 d | b , d |r ，但是a = kb +r

 因此d也是(a,b)的公约数

 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里得算法的C语言表达：

int gcd(int a, int b) { if(a == 0) reutn b; if(b == 0) return a; if(a < b) swap(a, b); int c; while(c = a % b) { b = c; a = b; } return b; }

 

欧几里得算法的改进（避免a、b之间的交换）：

F1.[余数m / n]

       以n除m并令m是余数。

F2[它为0？]

       如果m = 0，则此算法以n为答案而终止。

F3[余数n / m]

       以m除n并令n为余数。

F4[它为0？]

如果n = 0， 则算法以答案m为终止；否则返回步骤F1。

实际上是通过提前完成下一次的取余来弥补交换的过程。

欧几里得改进算法的C语言表达：

int gcd(int a, int b) { if(a == 0) reutn b; if(b == 0) return a; if(a < b) swap(a, b); while(a = a % b) { b = b % a; } return b; }

 

另外：

GCD (greatest common divisor 或者 highest common factor )