动态规划—背包问题（01背包、完全背包、多重背包）

01背包问题

有N件物品和一个容量为C的背包。第i件物品的费用是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

 

w[i] 表示物品i的重量

v[i] 表示物品i的价值

C 表示背包的容量

dp[i][c]表示前i件物品恰放入一个容量为c的背包可以获得的最大价值

 

状态转移方程：

二维： dp[i][c] = max(dp[i-1][c],dp[i-1][c-w[i]]+v[i])

一维： dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i])  //max里的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是状态dp[i-1][c]和状态dp[i-1][c-w[i]]的值

 

01背包 降维代码：

memset(dp,0,sizeof(dp));   //init

for(int i=1; i<=n; i++)

        for(int c=C; c>=w[i]; c--)  //注意,c要由C倒推到w[i],c<w[i]时,dp[c] = dp[c]; 所以不用写了...

               dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]);     //c要倒推才能保证在推dp[c]时,max里的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是状态dp[i-1][c]和状态dp[i-1][c-w[i]]的值

 

 

完全背包问题

有N种物品和一个容量为C的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大

 

状态转移方程:

二维： dp[i][c] = max(dp[i-1][c],dp[i][c-w[i]]+v[i])

一维： dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i])  //max里的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是状态dp[i-1][c]和状态dp[i][c-w[i]]的值

 

完全背包 降维代码：

memset(dp,0,sizeof(dp));   //init

for(int i=1; i<=n; i++)

        for(int c=w[i]; c<=C; c--)   //注意,c要正推

               dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]);     //c要正推才能保证在推dp[c]时,max里的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是状态dp[i-1][c]和状态dp[i][c-w[i]]的值

 

多重背包问题

有N种物品和一个容量为C的背包，每种物品的数量有限，第i种物品的费用是w[i]，价值是v[i]，数量为n[i]。

可将该问题转化为01背包和完全背包问题：

如果w[i]*n[i] > C, 按照完全背包问题进行求解；

如果w[i]*n[i] < C, 按照01背包问题进行求解。