bzoj 4465 游戏中的学问

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Description

大家应该都见过很多人手拉手围着篝火跳舞的场景吧？一般情况下，大家手
拉手跳舞总是会围成一个大圈，每个人的左手拉着旁边朋友的右手，右手拉着另一侧朋友的左手。
不过，如果每一个人都随机的拉住两个不同人的手，然后再慢慢散开，事情
就变得有趣多了——此时大家依旧会形成圈，不过却可能会形成多个独立的圈。
当然这里我们依然要求一个人的右手只能拉另一个人的左手，反之亦然。
班里一共有(N)个同学，由(1)到(N)编号。(Will)想知道，究竟有多少种本质不同的拉手方案，使得最终大家散开后恰好形成(k)个圈呢？
给定两种方案，若存在一个人和他的一只手，满足在这两种方案中，拉着这只手的人的编号不同，则这两种方案本质不同。

Input

输入一行包含三个正整数(N)，(k)和(P).
(3<=3k<=N<=3000，10^4<=p<=2×10^9.)

Output

输出文件的包含一行一个整数，表示本质不同的方案数对(p)的余数。保证(p)一定是一个质数。

Sample Input

3 1 1000000009

Sample Output

2

Solution

• 这类游戏的套路其实都大同小异...考虑最后一个人的情况(dp)即可.
• 就此题而言,设(f[i][j])表示(i)个人形成(j)个环的方案数目.
• 考虑最后一个人,他可以插入到前面已经有的环里,不形成新的环.
• 前面(i-1)个人有(i-1)个位置可以插入.
• 方案数为(f[i-1][j]*(i-1)).
• 他也可以形成一个新的环,从前面的(i-1)个人中选择(2)个人和他成环,而这两人在他左右交换算作两次.
• 方案数为(f[i-3][j-1]*C_{i-1}^2*2.)
• 需要注意边界条件,显然有(f[0][0]=1),还需要注意的是当(j<lfloor i/3 floor)时,因为至少要三个人组成一个环,这种情况的方案数也为(0).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		{
			fh=-1;
			jp=getchar();
		}
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		{
			out=out*10+jp-'0';
			jp=getchar();
		}
	return out*fh;
}
int n,k,P;
inline int add(int a,int b)
{
	return (1LL*a + 1LL*b) % P;
}
inline int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
inline int swapC(int x)
{
	return mul(x,x-1);
}
const int MAXN=3e3+110;
int f[MAXN][MAXN];
int dp(int i,int j)
{
	if(f[i][j]!=-1)
		return f[i][j];
	if(i==0 && j==0)
		return 0;
	if(j>(i/3))//注意边界 
		return 0;
	int &res=f[i][j];
	res=0;
	res=add(res,mul(dp(i-1,j),i-1));
	res=add(res,mul(dp(i-3,j-1),swapC(i-1)));
	return res;
}
int main()
{
	n=read(),k=read(),P=read();
	for(int i=0;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=k;++j)
			f[i][j]=-1;
	int ans=dp(n,k);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}