RMQ问题总结，标准RMQ算法的实现

RMQ问题：对于长度为N的序列，询问区间[L,R]中的最值

RMQ问题的几种解法：

1. 普通遍历查询，O(1)-O(N)
2. 线段树，O(N)-O(logN)
3. DP，O(NlogN)-O(1)
4. RMQ标准算法，O(N)-O(1)

简单介绍：

1. 朴素的查询，不需要任何预处理，但结果是没有任何已知的信息可以利用，每次都需要从头遍历到尾。
2. 线段树，区间问题的神器，用线段树做比起朴素的暴力查询要快得多，关键在于线段树使用了分治思想，利用了区间问题的可合并性。任何一个区间最多只需要logN个线段树上的区间来合并，线段树上的区间总数目为O(N)个，因此只需要O(N)的预处理就可以将查询复杂度降到O(logN)。同时线段树的树状结构使得修改时信息更容易维护。
3. DP，又叫ST算法，也是利用了分治的思想。任何一个区间都可以由两个小于当前区间长度的最大的长度为2的幂的区间合并而来，于是预处理出每个点开始所有长度为2的幂的区间最值，那么查询时就可以由预处理的信息O(1)得到答案。
4. RMQ标准算法，利用了神奇的数据结构--笛卡尔树，笛卡尔树将区间最值问题转化为树上两个点的LCA问题，而DFS可以将LCA问题转化为±1RMQ问题，±1RMQ问题又可以利用分块和动态规划的思想来解决。上述所有预处理，包括笛卡尔树的建立、DFS序以及±1RMQ的问题的求解都可以在线性时间内完成，查询时复杂度为O(1)。

标准算法的实现：

• 结构图：
• 笛卡尔树的构造算方法：从左至右扫描原序列，并依次插入到笛卡尔树的右链中，使用单调栈复杂度为O(N)。建好树后，key是二查搜索树，value是小根堆。
• 最小值与LCA：建好树后，区间最小值问题便转化为了LCA问题，下面简单证明一下：

假设现在询问[d, f]的最小值，root为d和f的LCA，由笛卡尔树的性质可知，root是整棵树表示区间的最小值，而[d, f]是其子区间，所以root不可能比[d, f]中的数小，又因为d和f属于root的不同子树(LCA的性质)，所以root一定在[d, f]中(笛卡尔树的性质)，故对两个点a，b，LCA(a, b)就是[a, b]的最小值，证毕。

• ±1RMQ问题：相邻两个数相差1或者-1的序列的RMQ问题
• ±1RMQ问题解法：将原长度为N的序列分成2N/logN块，每块长度为logN/2，将原来的询问分解为块间询问和块内询问。用ST算法在O(N/logN*log(N/logN))=O(N)的时间内处理出块与块之间的区间最值信息，可以在O(1)的时间内解决块与块之间的询问。对于块内的询问，由于每块长度为logN/2，相邻两个数的差不是1就是-1，于是对于区间最值出现的位置，本质不同的状态只有2^logN/2=√N个，加上边界，总共状态数为O(√N*logNlogN)，利用递推在O(√N*logNlogN)的时间内求出所有状态来，以后可以在O(1)的时间内得到块内任意区间最值的位置。总复杂度为O(N + √N*logNlogN) ≈ O(N)。
• LCA与±1RMQ的经典转化就不细说了，详见代码

 

标准RMQ，O(N)-O(1)

 

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struct PlusMinusOneRMQ { const static int N = 223456; const static int M = 15; int blocklen, block, minv[N], dp[N][20], t[N * 20], f[1 << M][M][M], s[N]; void init(int n) { blocklen = max(1, (int)(log(n * 1.0) / log(2.0)) / 2); block = n / blocklen + (n % blocklen > 0); int total = 1 << (blocklen - 1); for (int i = 0; i < total; i ++) { for (int l = 0; l < blocklen; l ++) { f[i][l][l] = l; int now = 0, minv = 0; for (int r = l + 1; r < blocklen; r ++) { f[i][l][r] = f[i][l][r - 1]; if ((1 << (r - 1)) & i) now ++; else { now --; if (now < minv) { minv = now; f[i][l][r] = r; } } } } } int tot = N * 20; t[1] = 0; for (int i = 2; i < tot; i ++) { t[i] = t[i - 1]; if (!(i & (i - 1))) t[i] ++; } } void initmin(int a[], int n) { for (int i = 0; i < n; i ++) { if (i % blocklen == 0) { minv[i / blocklen] = i; s[i / blocklen] = 0; } else { if (a[i] < a[minv[i / blocklen]]) minv[i / blocklen] = i; if (a[i] > a[i - 1]) s[i / blocklen] |= 1 << (i % blocklen - 1); } } for (int i = 0; i < block; i ++) dp[i][0] = minv[i]; for (int j = 1; (1 << j) <= block; j ++) { for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < block; i ++) { int b1 = dp[i][j - 1], b2 = dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]; dp[i][j] = a[b1] < a[b2]? b1 : b2; } } } int querymin(int a[], int L, int R) { int idl = L / blocklen, idr = R / blocklen; if (idl == idr) return idl * blocklen + f[s[idl]][L % blocklen][R % blocklen]; else { int b1 = idl * blocklen + f[s[idl]][L % blocklen][blocklen - 1]; int b2 = idr * blocklen + f[s[idr]][0][R % blocklen]; int buf = a[b1] < a[b2]? b1 : b2; int c = t[idr - idl - 1]; if (idr - idl - 1) { int b1 = dp[idl + 1][c]; int b2 = dp[idr - 1 - (1 << c) + 1][c]; int b = a[b1] < a[b2]? b1 : b2; return a[buf] < a[b]? buf : b; } return buf; } } }; struct CartesianTree { private: struct Node { int key, value, l, r; Node(int key, int value) { this->key = key; this->value = value; l = r = 0; } Node() {} }; Node tree[maxn]; int sz; int S[maxn], top; /** 小根堆 区间最小值*/ public: void build(int a[], int n) { top = 0; tree[0] = Node(-1, 0x80000000);//将根的key和value赋为最小以保持树根不变 S[top ++] = 0; sz = 0; for (int i = 0; i < n; i ++) { tree[++ sz] = Node(i, a[i]); int last = 0; while (tree[S[top - 1]].value >= tree[sz].value) { last = S[top - 1]; top --; } tree[sz].l = last; tree[S[top - 1]].r = sz; S[top ++] = sz; } } Node &operator [] (const int x) { return tree[x]; } };/** 树根为定值0，数组从0开始编号 **/ class stdRMQ { public: void work(int a[], int n) { ct.build(a, n); dfs_clock = 0; dfs(0, 0); rmq.init(dfs_clock); rmq.initmin(depseq, dfs_clock); } int query(int L, int R) { int cl = clk[L], cr = clk[R]; if (cl > cr) swap(cl, cr); return value[rmq.querymin(depseq, cl, cr)]; } private: CartesianTree ct; PlusMinusOneRMQ rmq; int dfs_clock, clk[maxn], value[maxn << 1], depseq[maxn << 1]; void dfs(int rt, int d) { clk[ct[rt].key] = dfs_clock; depseq[dfs_clock] = d; value[dfs_clock ++] = ct[rt].value; if (ct[rt].l) { dfs(ct[rt].l, d + 1); depseq[dfs_clock] = d; value[dfs_clock ++] = ct[rt].value; } if (ct[rt].r) { dfs(ct[rt].r, d + 1); depseq[dfs_clock] = d; value[dfs_clock ++] = ct[rt].value; } } };