[CodeForces 344C Rational Resistance]YY，证明

题意：给若干个阻值为1的电阻，要得到阻值为a/b的电阻最少需要多少个。

思路：令a=mb+n，则a/b=m+n/b=m+1/(b/n)，令f(a,b)表示得到a/b的电阻的答案，由f(a,b)=f(b,a)，有：

f(a,b)=a/b + f(a%b,b)=a/b+f(b,a%b)

（1）由于将所有的电阻之间的关系改变一下，串联变成并联，并联变成串联，阻值变成之前的倒数，所以f(a,b)=f(b,a)成立。

（2）现在再证一下：串联变成并联，并联变成串联，阻值变成之前的倒数。考虑任一个电路，一定可以看成两个电路的并联或者两个电路的串联（题目保证了），先假设子问题成立，考虑原来的电路A和电路B，如果A和B串联，则R0=RA+RB，变成并联后R=1/(1/(1/RA)+1/(1/RB))=1/(RA+RB)=1/R0，如果A和B并联，则R=RA*RB/(RA+RB)，变成串联后R=1/RA+1/RB=(RA+RB)/(RA*RB)=1/R0，由数学归纳法，所以结论成立

 

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