形式语义04 Types

Types

首先要说明什么是Type

Types可以看成是对数据的分类、一种约定，即我们用一个界来描述一类数据构成的集合，用不同的界区分不同的数据种类。对于untyped的语言，我们则可以看成是只有唯一一种包罗万象的type

类型实际上有很多作用，可以进行针对性的优化、可以提供部分代码的信息、可以作为接口分离各模块的逻辑、可以保证程序的正确执行.....

如果写过Coq的话，还会知道类型可以与逻辑系统中的元素建立对应关系，从而可以利用类型推导工具来进行定理的证明（虽然我感觉这是绕了一个大弯，毕竟类型系统本来就应该看成一类特殊的逻辑系统），也就是Curry-Howard morphism

这一节讲的就是在(lambda)-calculus中引入type

Errors

分为trapped errors和untrapped errors

trapped意思是就是出现使得程序停止的错误（除0）

untrapped意思是程序虽然继续运行，但是状态被破坏了（回想注入攻击）

forbidden-error则指的是一个untrapped errors的超集

Safe & Well-behaved

我们称一个程序是safe的，当且仅当它执行过程中不会出现untrapped error。如果一个语言的所有合法程序都是safe的，那么我们就称这个语言是safe的

我们称一个程序是well-behave的，当且仅当它在执行过程中不会出现forbidden-errors。

于是就可以定义type safe了。如果一个语言经过了type system检查的程序都是safe的，那么我们称这个语言就是type safe的

实践中通常不明确定义forbidden-errors、well-behave以及safe，一般混着来，不过不影响理解

Annotations

把变量 (x) 的类型为 ( au) 记作 (x: au)

把"以类型 ( au_1) 作为输入、( au_2) 作为输出"的函数 (f) 的类型记作 (f: au_1 ightarrow au_2)

有些变量的类型由环境决定，例如表达式 (f;1)，在 (f: ext{int} ightarrow ext{int}) 和 (f: ext{int} ightarrow ext{double}) 两种情况下的类型就不一样，因此需要引入环境的概念，用函数 (Gamma: ext{Types}^ ext{var}) 表示，意思是给free variable分配类型，也可以理解成假设

在Simply Typed (lambda)-calculus里，类型仅由基本类型以及通过函数对基本类型进行复合两种方法得到。很显然类型的数量是可数的

以及若干推导规则：

1. (Gamma,x: au_1vdash e: au_2Rightarrow Gamma,x_1: au_1vdash lambda x.e: au_1 ightarrow au_2)，意思是函数的类型由参数类型和返回值类型确定。
2. $Gamma,x: auvdash x: au $，意思是在相同环境下，同名变量有相同类型
3. (Gamma,e_1: au_1 ightarrow au_2,e_2: au_1vdash e_1;e_2: au_2)，意思是给一个函数传入参数就可以得到返回值的类型

可以发现，一个类型系统类似一个逻辑系统，我们有若干公理（变量类型）、推导规则，并且我们希望所有的命题都可以通过推理得到，也都有相应的语义含义

Soundness & Completeness

也有叫Consistency的

如果一段代码能给所有表达式标上类型：即每个表达式的类型都可以在类型系统中推导得到，那么就称类型系统accept了这段代码

我们称类型系统sound，当且仅当所有通过的代码都不会出错

我们称类型系统complete，当且仅当所有不会出错的代码都能通过检查

很快就能反应过来对于递归可枚举的图灵完备的语言而言，这个问题是不可判定的。因此通常的做法是牺牲completeness追求soundness，意思是也许你的做法是对的，但我们建议用其它可以通过检查的方法来写；并且所有通过的代码都必须是安全的

在Simply Typed (lambda)-calculus中，不出错就意味着：

如果 (vdash M: au) 并且 (Moverset * ightarrow M')，那么就有 (vdash M': au)

并且要么 (M') 是一个value，要么 (M') 可以继续规约。这里value通常就定义为normal form

上面两条分别对应了下面的两个定理

一个证明上述type system不complete的例子如下：

((lambda x.(x; (lambda y.y))(x;3))(lambda z.z))

关键就在于对于同一个 (x)，它既作用于 ((lambda y.y))，又作用于 (3)，因此我们不能推导得到 (x) 的类型，因此也就无法通过类型系统的检查

但是稍微规约一下就可以得到 ((lambda y.y);3=3)，最终是可以停止并得到值的，意思是这段代码不会出错

Progress TH

如果 (vdash e: au)，那么要么 (e) 是value，要么存在 (e ightarrow e')

证明这个只需要对推导次数进行归纳就可以了

引理1：如果一个拥有 ( au_1 ightarrow au_2) 类型的表达式 (e) 是value，那么它一定是 (lambda x.E) 的形式

引理1的证明：观察类型推导的规则就可以发现，能够给出 ( au_1 ightarrow au_2) 类型的规则只有一条。反证即可说明

Progress的证明：

base case 是很简单的，这里就不写了

设当推导次数 (n=k) 时命题成立，分类讨论第 (k+1) 次推导时表达式 (e) 的结构：

1. 常量，此时 (e) 是value，符合；
2. (e=x)，此时环境为空，不可能有 (vdash x: au)
3. (e=lambda x.E)，此时 (e) 是value，符合；
4. (e=e_1;e_2)，分类讨论 (e_1,e_2)
   1. (e_1) 不是value，那么由归纳假设，存在 (e_1') 使得 (e_1 ightarrow e_1')，符合；
   2. (e_1) 是value，(e_2) 不是value，那么同理存在 (e_2 ightarrow e_2')，符合；
   3. (e_1,e_2) 都是value，根据引理有 (e_1=lambda x.E)，于是有 (e_1;e_2 ightarrow E[e_2/x])，符合；

由数学归纳法得命题对任意自然数次的推理成立

关键在于为什么需要引理，以及何时使用引理

Preservation TH

意思是如果 (vdash e: au) 且 (e ightarrow e')，那么有 (vdash e': au)

引理2：若 (Gamma,x:sigmavdash E: au)，且 (Gammavdash e:sigma)，那么 (Gammavdash E[e/x]: au)

证明比较简单，只需要对 (e) 推导归纳再分类讨论就好了

仍然对推理次数进行归纳，同样省去base case

对 (e) 的结构分类讨论：

1. (e) 是常量，那么不存在 (e')；
2. (e=x)，那么不存在 (e')
3. (e=lambda x.E)，那么不存在 (e')
4. (e=e_1;e_2)，那么就有 (vdash e_1;e_2: au)，并且 (vdash e_1:sigma ightarrow au,e_2:sigma)
   1. 存在 (e_1 ightarrow e_1')，那么就有 (e ightarrow e_1';e_2)。根据归纳假设有 (vdash e_1':sigma ightarrow au)，又根据类型推导规则有 (vdash e_1';e_2: au)，归纳步骤成立；
   2. 存在 (e_2 ightarrow e_2')，那么就有 (e ightarrow e_1;e_2')。根据归纳假设有 (vdash e_2':sigma)，再根据类型推导规则有 (vdash e_1;e_2': au)
   3. (e_1,e_2) 都是normal form，那么根据引理1有 (e_1=lambda x.E) 的形式，于是 (e=e_1;e_2=lambda x.E; e_2)。此时显然有 (e ightarrow E[e_2/x])，根据引理2有 (vdash E[e_2/x]: au)

于是就证完了