图论笔记4 平面图与可平面图

本来应该(被)科普一些拓扑的姿势的，但是目前好像也不太用得上，就先咕了吧。

本文假设读者有一定的图结构知识，比较新的概念俺会努力解释的

这里的内容都比较入门，大佬轻喷(

平面图(Plane Graph)

我们称具有如下性质的图 (G) 为平面图：

1. (V(G)subseteq mathbb R^2)，(E(G)subseteq mathbb R^2) 毕竟是"平面"图
2. (forall e_1,e_2in E(G)), (st(e_1) eq st(e_2) ext{ and } ed(e_1) eq ed(e_2))
3. (forall e_1,e_2in E(G)), (e_1cap e_2in left(V(G)cupvarnothing ight))
4. (forall ein E(G)), (e=(x,y)) 是连通 (x,;y) 的一段弧(arc)。

在一般图中，我们认为 (E(G)) 中的元素是若干二元组。在平面图中，我们认为图的边 (e=(x,y)) 是连通 (x) 和 (y) 的一段弧(arc)，即一个点集。此时 (G) 就可以代表由所有顶点以及边上的点构成的点集。

考虑点集 (S=mathbb R^2ackslash G)，(S) 中存在着若干不相交的区域(region)。我们记 (F(G)) 为 (S) 中的所有区域，将这些区域称为图 (G) 的面(face)。若 (fin F(G)) 是无界的(unbounded)，则记为外面，否则记为内面。

平面图的欧拉定理

对于平面图 (G=(V,E))，(F=F(G))，则有 (|V|-|E|+|F|=2)

考虑对 (|E|) 归纳。

1. 当 (|E|=|V|-1) 且 (G) 连通时，(G) 是树，此时 (|V|=|E|+1)，(|F|=1)，带入成立。

2. 设当 (|E|<k) 时成立，则对于 (||G||=k)，必然存在一个圈 (C)。取 (ein E(C))，考虑 (G'=G-e)。则必然存在两个面 (f_1,f_2)，满足 (f_1 eq f_2) 且 (esubseteq(partial f_1cappartial f_2))。记 (f=f_1cup f_2cup (partial f_1cappartial f_2))，则 (F(G')=F(G)-f_1-f_2+f)。于是可以由 (|V(G')|-|E(G')|+|F(G')|=2) 得到 (|V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=|V(G')|-|E(G')|-1+|F(G')|+1=2)

于是对于任意有限的平面图，平面图欧拉定理成立。

三角剖分定理

若对于平面图 (G) 中的每个面 (f)，(partial f) 上都只有三个点，则 (G) 是一个三角剖分图(triangulation graph)

极大平面图(maximal plane graph)定义为 (forall x,yin V(G))，(G+(x,y)) 都不是平面图。

我们有：平面图 (G) 是极大平面的当且仅当它是一个三角剖分

(Rightarrow)：

取 (fin F(G))，则 (partial f) 是一个圈 (C)。观察到必然有 (|C|leqslant 3) (否则可以选取 (C) 上两个不相邻的顶点连边使得仍然是平面图，这与极大平面矛盾)

且由平面图的定义可知 (|C|>2) (否则存在重边)，因此 (|C|=3)。由 (f) 的任意性可知 (G) 是一个三角剖分。

(Leftarrow)：

由反证法，假设存在 (x,yin V(G)) 使得 (xy) 的内部在某一区域 (f) 内，那么必然有 (x,yinpartial f)。而由 (G) 是三角剖分可知 (|V(partial f)|=3)，故 (x,y) 必相邻，这与 (G) 不含重边矛盾。故命题成立。

平面图的必要条件

若图 (G=(V,E)) 是平面图，则 (|E|leqslant 3|V|-6)

对三角剖分的边和面计数，则有 (frac{3|F|}{2}=|E|) (每个面的边界上有三条边，每条边的两侧恰好为两个面)，带入平面图欧拉公式就有 (|E|=3|V|-6)。

若不含三角形的(triangle-free graph)的图 (G=(V,E)) 为平面图，则 (|E|leqslant2|V|-4)

证明和上面类似，每个面的边界有四条边

子式和拓扑子式

拓扑子式

考虑一个固定的图 (X)，我们用若干不相交的路替换掉 (X) 的边得到新的图 (X')，则我们称 (X') 是 (X) 的一个细分，也记作 (X'=TX)

我们把 (V(X)cap V(TX)) 称作 (X) 的分支顶点，把 (V(TX)ackslash V(X)) 称作 (X) 的细分顶点。很显然细分顶点度数都是 (2)

若 (TXsubseteq G)，则我们称 (X) 是 (G) 的拓扑子式

子式

考虑一个固定的图 (X)，我们用若干不相交的连通图 (G_x) 替换掉 (X) 中的顶点，对于 (xyin E(X)) 则用 (G_x-G_y) 路替换掉，这样得到的图记作 (X')，那么我们记作 (X'=IX)

若 (IXsubseteq G)，则我们称 (X) 是 (G) 的收缩子式，记作 (Xpreceq G)

Kuratowski定理

这个定理很强，但是证明非常麻烦....这里打算摸了只给出结论，具体证明可以参考任意一本找得到这个定理的图论教材~

对于图 (G)，下列叙述等价：

1. (G) 可平面
2. (G) 不包含 (K_5) 或 (K_{3,3}) 作为子式
3. (G) 不包含 (K_5) 或 (K_{3,3}) 作为拓扑子式

极大可平面图是三连通图

这是作业里需要证明的一个小引理，不过很有用，也放上来吧

要用到三连通图的收缩列

引理1：(exists uvin E(T_n)) 使得 (left|{N(u)cap N(v)} ight|=2)

首先 (forall xin V(T_n))，都有 (deg(x)geqslant 3)。任取边 (uvin E(T_n))，(uv) 恰好在两个面 (f_1,f_2) 的边界上。而由三角剖分的定义可知 (f_1,f_2) 的边界是两个三角形。因此 (forall uvin E(T_n)) 都有 (|N(u)cap N(V)|geqslant 2)。

由反证法，不妨假设 (forall uvin E(T_n)) 都有 (|N(u)cap N(v)|geqslant 3)，则易知 (|N(u)|geqslant 4) 且 (|N(v)|geqslant 4)

不妨记 (N(u)=left{;x_1,x_2,x_3,x_4; ight})，则由 (|N(u)cap N(x_1)|geqslant 3) 可得 (x_1x_2,x_1x_3,x_1x_4in E(T_n))

同理有 (x_2x_3,x_2x_4,x_3x_4in E(T_n))，故 (ucup N(u)) 的导出子图是 (K_5)，这与 (T_n) 可平面矛盾。

因此 (exists uvin E(T_n)) 使得 (|N(u)cap N(v)|=2)。证明对图的阶没有要求，因此引理对 (T_n)，(ngeqslant 4) 成立。

极大可平面图是3-连通图

对极大可平面图 (T_n) 的阶作数学归纳法。

当 (n=4) 时，(T_4=K_4) 是三连通图；

设当 (n=k) 时 (T_k) 是三连通图，则取 (k+1) 阶极大可平面图 (T_{k+1})，由引理1可知 (exists uvin E(T_{k+1})) 使得 (|N(u)cap N(v)|=2)。

作图的收缩，记 (G=T_{k+1}circ uv)，容易发现 (||G||=||T_{k+1}||-|left{;uv; ight}|-|N(u)cap N(v)|)

又因为 (T_{k+1}) 是三角剖分，所以 (||G||=3(k+1)-6-1-2=3k-6=3|G|-6)

又因为 (G) 仍然是平面图，所以 (G) 也是极大可平面图。由归纳假设，(G) 是三连通图，存在一个保持三连通性的收缩。因此 (T_{k+1}) 也是三连通图。