集合的大小
有限集合的大小很容易比较，只需要数一数，比一比就完了
而无限集不能这么做。我们在这里规定集合(A)与(B)大小相等当且仅当存在(f: Amapsto B)为双射
定理：无限集至少和它的一个真子集有双射
证明：考虑(A)，由选择公理，我们可以取出(Bsubset A)且(B)可数，那么(f:Amapsto Aackslash B_0)就可以取(f(x)=left{egin{aligned}egin{equation}B_{i+1}, x=B_i\x,x
otin Bend{equation}end{aligned}
ight.)
康托定理
集合(S)总是小于它的幂集(2^S)，定义(2^S=left{T|Tsubset S
ight})
这里蕴含了一个幂集公理，即集合的幂集还是集合
证明：假设存在一个双射(f:Smapsto 2^S)，那么取(T=left{x|x
otin f(x)
ight})，显然这个集合不同于任何双射中的值域，这就得到了一个矛盾
这个方法叫对角线法则，很好用~
可数与不可数
定义(S)可数(countable)当且仅当(exists f:mathbb Nmapsto S)为双射
定理：(mathbb R)不可数
证明：这是别处看来的，觉得更好理解一些(虽然没有用到对角线法则)
这里先只证明([0,1])不可数。反证法：假设可数，则存在一种列举方式使得我们能穷尽所有的实数，记这个数列为(left{a_n
ight})
那么对于(a_0)，我们可以把区间划分为([0,frac{1}{3}],[frac{1}{3},frac{2}{3}],[frac{2}{3},1])，则至多有两个区间包含了(a_0)，取剩下的那个区间为下一次的操作区间，重复上述过程
这样我们就得到了一系列区间套，最终会收敛到一个点(xi)
(xiinmathbb R)，但是(forall i)都有(a_i
eq xi)，这样就推出了矛盾
Cantor-Bernstein定理
其实还有一个名字的，不会写……
这个定理很直观：若(|A|le|B|)且(|B|le|A|)则(|A|=|B|)
证明用到了巴拿赫定理
Banach定理
若存在(f:Amapsto B)和(g:Bmapsto A)都是单射，则
存在(A_0,A_1)满足(A_0cap A_1=varnothing)，(A_0cup A_1=A)
存在(B_0,B_1)满足(B_0cap B_1=varnothing)，(B_0cup B_1=B)
使得(fleft(A_0
ight)=B_1)，(gleft(B_0
ight)=A_1)
证明有点长，先去吃个饭~
剩下的内容可以看之前写过的集合大小比较的文章，差不多都齐了……