凑数问题

蓝桥：包子凑数

思路： 当正整数A与B互质时，用A和B凑不出的最大数为 A×B-A-B 。 也就是说A×B-A-B+1后的数都是可以凑出来的。
对于这道题本质是求(a_1×x+a_2×y+...+a_n×z=x) 由exgcd可知当(x=k×gcd(a_1,a_2,...,a_n))时有解，如答案不是inf，说明在某个数后面的所有数作为x都有解，对于一些连续的数，最大公约数只能是1，所以(gcd(a_1,a_2,...,a_n)!=1)时解为inf.
对于由于上面的定理可知，两个数最大凑不出的数最多也才(a_i*a_j)，所以直接去上界为100*100，然后利用完全背包统计。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int a[N],f[N*N];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    memset(f,0,sizeof f);
    int g=-1;
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        cin>>a[i];
        if(g==-1) g=a[i];
        else g=__gcd(g,a[i]);
    }
    if(g!=1){
        cout<<"INF
";
        return 0;
    }
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=a[i];j<=N*N-1;++j){
            f[j]+=f[j-a[i]];
        }
    }
    int flag=0;
    for(int i=N*N-1;i>=0;--i){
        if(!f[i]) flag++;
    }
    if(!flag) cout<<"0
";
    else cout<<flag<<endl;
    return 0;
}

P6188 [NOI Online 入门组]文具订购

思路： 利用上面的定理，3，4，7凑不出的最大数是5，在枚举下也就是(1,2,5)是凑不出的，那么所以保证n不等于这些数的前提下，尽量整套买，我们发现整套买完后最大的剩余钱数是19，因为大于20可以再买一套后剩余钱数大于5也是可以凑的。最后n<19枚举a,b,c可以凑时最大的a+b+c。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int a=0,b=0,c=0;
    int n;
    cin>>n;
    if(n<=5) {
        if(n==3){
            cout<<"0 0 1
";
        }
        else if(n==4){
            cout<<"0 1 0
";
        }
        else if(n==0)
            cout<<"0 0 0
";
        else
         cout<<"-1
";
        return 0;
    }
    int t=n/14;t++;
    n-=14*t;
    while(t>0&&(n<=5&&n!=0&&n!=3&&n!=4)) t--,n+=14;
    int t2=0;
    for(int i=0;i<15;++i){
        for(int j=0;j<15;++j){
            for(int k=0;k<15;++k){
                if(i*7+j*4+k*3==n){
                    if(i+j+k>t2){
                        a=i,b=j,c=k;
                        t2=i+j+k;
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout<<a+t<<" "<<b+t<<" "<<c+t<<endl;
    return 0;
}