静态的定义
对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。
参阅右图。设定xyz-轴为参考系的参考轴。称xy-平面与XY-平面的相交为交点线，用英文字母（N）代表。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义：
是x-轴与交点线的夹角，
是z-轴与Z-轴的夹角，
是交点线与X-轴的夹角。
很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。
角值范围[编辑]
值从0至
弧度。- 值从0至
弧度。
对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：
- 两组欧拉角的，一个是0，一个是，而与分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
- 两组欧拉角的，一个是0，一个是，而与分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
旋转矩阵[编辑]
前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵![[mathbf{R}]](https://images2018.cnblogs.com/blog/1470684/201808/1470684-20180821171832486-1727368469.png)
是由三个基本旋转矩阵合成的：
![[mathbf{R}] = egin{bmatrix}
cos gamma & sin gamma & 0 \
-sin gamma & cos gamma & 0 \
0 & 0 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & cos eta & sin eta \
0 & -sin eta & cos eta end{bmatrix} egin{bmatrix}
cos alpha & sin alpha & 0 \
-sin alpha & cos alpha & 0 \
0 & 0 & 1 end{bmatrix}](https://images2018.cnblogs.com/blog/1470684/201808/1470684-20180821171832644-1330893413.png)
从左到右依次代表绕着z轴的旋转、绕着交点线的旋转、绕着Z轴的旋转。
经过一番运算,
![[mathbf{R}] = egin{bmatrix}
cosalphacosgamma-cosetasinalphasingamma & sinalphacosgamma+cosetacosalphasingamma & sinetasingamma
\-cosalphasingamma-cosetasinalphacosgamma & -sinalphasingamma+cosetacosalphacosgamma & sinetacosgamma
\ sinetasinalpha & -sinetacosalpha & coseta
end{bmatrix}](https://images2018.cnblogs.com/blog/1470684/201808/1470684-20180821171832822-715818924.png)
的逆矩阵是：
![[mathbf{R}]^{-1}= egin{bmatrix}
cosalphacosgamma-cosetasinalphasingamma & -cosalphasingamma-cosetasinalphacosgamma & sinetasinalpha
\ sinalphacosgamma+cosetacosalphasingamma & -sinalphasingamma+cosetacosalphacosgamma & -sinetacosalpha
\ sinetasingamma & sinetacosgamma & coseta
end{bmatrix}](https://images2018.cnblogs.com/blog/1470684/201808/1470684-20180821171833017-521361177.png)
别种顺序[编辑]
在经典力学里，时常用zxz顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为x顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有12种顺规。例如，y顺规，第二个转动轴是y-轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz顺规，是用在航空航天工程学；参阅Tait-Bryan angles。