// 此博文为迁移而来，写于2015年7月11日，不代表本人现在的观点与看法。原始地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6022c4720102w69l.html
UPDATE（20180824）：进行多处修正，并添加多处注释，代码重写。感谢评论区的建议。
一、前言
树链剖分，一个高大上的名字。树链，即树上的路径，现在我们的任务是所谓的剖分。所以我们可以看出，树链剖分并不是一种单独的数据结构，不像堆，线段树等等，而是直接在一棵普通的树上处理，然而单是这一课树是并没有什么卵用的。今天先讲一个相对比较简单的情况——用一棵线段树维护主树每条边的权值。
二、概念
首先引入几个概念。
> 重儿子：设非叶子节点u存在若干个子节点，每个子节点有若干个子节点，重儿子即为其子节点中子节点最多的节点。
> 重边：非叶子节点与其重儿子所连的边。
> 重链：由连续的重边组成的一条链。
那么这些东西有什么用？先来看一道例题（也就是树链剖分与线段树维护的经典例题）。
三、例题
四、过程
题目为单点修改，区间询问。单点修改不用多提，重点在于，我们如何把从节点u到节点v这条路径上的节点求出最大值以及权值和呢？先考虑一种暴力的算法——跑LCA。我们根据u和v的深度找到公共父亲节点，然后在从子节点向上跳的时候，得到最大值或是权值和（如果是修改操作，其实也是同理）。然而这终究是暴力。那么，重链在这道题中的作用就凸显出来了——为了你在跑LCA的时候往上跳得更快。
根据最开始对重链等概念的描述，我们来看一张图：
第一步，先求出每一个节点的重儿子，以及当前节点所在重链的顶端（如果当前节点是没有重边相连或者本身就是顶端，则就是其本身）。
第二步，根据重儿子，我们将每个节点对应的边标号（由于这是一棵树，则每一个节点与其父节点之间的边有且仅有一条，我们称之为节点对应的边）。编号时，优先为其重儿子编号，直到到了叶子节点，再回溯上去为其他的儿子编号。如图所示，最开始我们记根节点的重边为1，然后一路编下去直至14号节点，回溯到4号节点，将4号节点与另一个子节点的边标号为5，以此类推。
这样，我们的目的就开始显现了！一旦重链存在两条及以上的重边，其编号在线段树中一定是连续的。如图的1-2-3-4与10-11。
第三步，跑LCA。由于已经求出了每条重链的顶端，每次我们跑LCA的时候，若当前节点不是重链顶端，则可以直接跳到顶端——同时，因为他们在线段树的编号是连续的，所以可以很方便的进行求值或者是修改，这一点只要会线段树的就很好理解了！
举个例子，如果我们需要求出11号和10号点的路径上的权值之和，设初始状态x1=11,x2=10，步骤为：
1、11的顶端为2，修改线段树中的10-11，同时x1=2；这时，dep[x1]=2,dep[x2]=3；
2、10没有重边相连，顶端为自身，故向上找其父节点，修改线段树中的4；发现父节点所在重链顶端为1，则修改线段树中的1，同时x2=4；这时，dep[x1]=2,dep[x2]=1。（这里有一个小小的优化，即便这条链上是一条重边，一条轻边，也可以选择一次性向上跳完）
3、2没有重边相连，顶端为自身，故向上找其父节点，修改线段树中的9。此时，top[x1]=top[x2]，且x1=x2，循环结束。
五、代码
尽管个人认为整个过程已经描述的较为清楚，但代码实现起来依旧有很多需要注意的细节，原因在于树链剖分涉及面广，先进行的两遍DFS再加上后面的线段树操作，代码长，容易码错。这里对代码进行一些提示：
1、geth函数为第一次DFS，作用在于求出每一个节点的重儿子及其在树中的深度与其父节点；
2、mark函数为对每一条边进行标号，优先重边，同时维护好每一个节点与其对应边的关系；
3、qmax/qsum：本质为跑LCA，在深度不等的情况下，每次对深度较大的点向上找祖先，如果找到重链，则直接利用线段树维护的数据加快速度。
1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 using namespace std; 4 5 #define MAXN 30005 6 #define INF 0x3f3f3f3f 7 8 int n, q, u, v, o, w[MAXN], h[MAXN]; 9 int f[MAXN], d[MAXN], tot[MAXN], hs[MAXN], top[MAXN], num[MAXN], lik[MAXN], now; 10 char ch[12]; 11 12 struct Tree { 13 int m, s; 14 } t[MAXN << 2]; 15 16 struct Edge { 17 int v, next; 18 } e[MAXN << 1]; 19 20 void add(int u, int v) { 21 o++, e[o] = (Edge) {v, h[u]}, h[u] = o; 22 o++, e[o] = (Edge) {u, h[v]}, h[v] = o; 23 } 24 25 int geth(int o, int of, int od) { 26 int oh = -1; 27 f[o] = of, d[o] = od; 28 for (int x = h[o]; x; x = e[x].next) { 29 int v = e[x].v; 30 if (v == of) continue; 31 tot[o] += geth(v, o, od + 1); 32 if (tot[v] > oh) oh = tot[v], hs[o] = v; 33 } 34 return tot[o] + 1; 35 } 36 37 void mark(int o, int ot) { 38 now++, top[o] = ot, num[o] = now, lik[now] = o; 39 if (!hs[o]) return; 40 mark(hs[o], ot); 41 for (int x = h[o]; x; x = e[x].next) { 42 int v = e[x].v; 43 if (v != hs[o] && v != f[o]) mark(v, v); 44 } 45 } 46 47 void build(int o, int l, int r) { 48 if (l == r) { 49 t[o] = (Tree) {w[lik[l]], w[lik[l]]}; 50 return; 51 } 52 int m = (l + r) >> 1; 53 build(o << 1, l, m), build(o << 1 | 1, m + 1, r); 54 t[o] = (Tree) {max(t[o << 1].m, t[o << 1 | 1].m), t[o << 1].s + t[o << 1 | 1].s}; 55 } 56 57 void upd(int o, int l, int r, int x, int w) { 58 if (l == r) { 59 t[o].m += w, t[o].s += w; 60 return; 61 } 62 int m = (l + r) >> 1; 63 if (x <= m) upd(o << 1, l, m, x, w); 64 else upd(o << 1 | 1, m + 1, r, x, w); 65 t[o] = (Tree) {max(t[o << 1].m, t[o << 1 | 1].m), t[o << 1].s + t[o << 1 | 1].s}; 66 } 67 68 int quem(int o, int l, int r, int ql, int qr) { 69 int m = (l + r) >> 1, res = -INF; 70 if (ql <= l && r <= qr) return t[o].m; 71 if (ql <= m) res = max(res, quem(o << 1, l, m, ql, qr)); 72 if (qr > m) res = max(res, quem(o << 1 | 1, m + 1, r, ql, qr)); 73 return res; 74 } 75 76 int qmax() { 77 int x = top[u], y = top[v], ans = -INF; 78 while (x != y) { 79 if (d[x] < d[y]) swap(x, y), swap(u, v); 80 ans = max(ans, quem(1, 1, n, num[x], num[u])); 81 u = f[x], x = top[u]; 82 } 83 if (d[u] > d[v]) swap(u, v); 84 return max(ans, quem(1, 1, n, num[u], num[v])); 85 } 86 87 int ques(int o, int l, int r, int ql, int qr) { 88 int m = (l + r) >> 1, res = 0; 89 if (ql <= l && r <= qr) return t[o].s; 90 if (ql <= m) res += ques(o << 1, l, m, ql, qr); 91 if (qr > m) res += ques(o << 1 | 1, m + 1, r, ql, qr); 92 return res; 93 } 94 95 int qsum() { 96 int x = top[u], y = top[v], ans = 0; 97 while (x != y) { 98 if (d[x] < d[y]) swap(x, y), swap(u, v); 99 ans += ques(1, 1, n, num[x], num[u]); 100 u = f[x], x = top[u]; 101 } 102 if (d[u] > d[v]) swap(u, v); 103 return ans + ques(1, 1, n, num[u], num[v]); 104 } 105 106 int main() { 107 scanf("%d", &n); 108 for (int i = 1; i <= n - 1; i++) scanf("%d %d", &u, &v), add(u, v); 109 for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]); 110 geth(1, 0, 1), mark(1, 1), build(1, 1, n); 111 scanf("%d", &q); 112 for (int i = 1; i <= q; i++) { 113 scanf("%s %d %d", ch, &u, &v); 114 if (ch[1] == 'H') upd(1, 1, n, num[u], v - w[u]), w[u] = v; 115 else printf("%d ", ch[1] == 'S' ? qsum() : qmax()); 116 } 117 return 0; 118 }