[知识点] 2.2 递归与分治

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前言

递归是一种非常常用的算法思想，太多太多地方使用了。

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1、递归

2、分治

2.2 递归与分治

1、递归

递归的基本思想是函数直接或间接地调用自身，用两张图来分辨递归与枚举的区别：

枚举是按部就班从起点到终点逐一处理或累加；递归时的求解过程就像剥洋葱皮一样一层层地深入，直到得到最终结果。所以，递归的代码往往为如下结构：

int func(当前状态) {
    if (终止条件) return 最终结果;
    return func(下一状态);
}

也就是说，打一开始，我们就要知道我们求解的目的是什么，终点在何方。相比枚举，递归其实是一种逆向思维，因为它的主要步骤是从最外层先找到最里层，然后再从最里层开始处理问题。

从结构上来看，递归的三大核心：

① 当前状态

② 终止条件

③ 下一状态

明确了这三点，递归基本就成型了。

在不建立在某种算法或者某种结构的前提下，其实单说递归是空洞的，它是作为各种算法的底层思想，所以如果要去理解它，去了解用到递归的算法要比了解递归的本质要来的轻松。所以，这里只给出几个密切相关的链接和一些代码，暂且不提算法本身的作用，只是用以体现递归的常用形式。

① 深度优先搜索 DFS（请参见：3.1 DFS / BFS）

void DFS(int x, int y, int p) {
    if (a[x][y] == 1) return;
    a[x][y] = 1;
    if (x == tx && y == ty) ans = min(p, ans);
    else for (int i = 1; i <= 4; i++) {
        int vx = x + cx[i], vy = y + cy[i];
        if (a[vx][vy] == 0) DFS(vx, vy, p + 1);
    }
    a[x][y] = 0;
}

DFS 的过程绝对是对递归思想最好的诠释，整个搜索框架完全是用递归实现的，这里给出的是 0-1 矩阵走迷宫代码只是其中一种。

② 树结构的构建与遍历（请参见：7.3  树与二叉树）

③ 归并排序（请参见：2.4 排序十讲 中的归并排序部分）

④ 最大公约数（请参见：6.4.1 素数与最大公约数）

int gcd(int x, int y) {
    return y ? gcd(y, x % y) : x; 
}

⑤ 线段树的区间询问操作（请参见：<施工中>）

int quem(int o, int l, int r) {
    if (t[o].f) push(o, r - l + 1);
    if (ql <= l && r <= qr) return t[o].v;
    int m = (l + r) >> 1;
    return (ql <= m ? quem(ls, l, m) : 0) + (qr >= m + 1 ? quem(rs, m + 1, r) : 0);
}

因为线段树本身就是树结构，所以其实它也可以归类于②。

2、分治

其实分治是递归中的一种，同样用一张图来体现它的特点：

相较于非分治的递归，分治的特点在于：

① 对于每一层向内并不是只递归一次，一般是两次，但更多也可以；

② 对于任何元素，其在递归过程中只会被访问一次。

在递归部分给出的若干份代码中，线段树的区间询问函数和归并排序都属于分治思想。

分治思想的核心在于：分解，解决，合并。

因为同样是一种思想，所以这里也不作更多的解释，参见各种算法对于理解可能会来得更直接一点。