说明一下问题，什么是整数划分？
- n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
- 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
- 举个例子，当n=5时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=5）
5 = 5
= 4 + 1
= 3 + 2
= 3 + 1 + 1
= 2 + 2 + 1
= 2 + 1 + 1 + 1
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1
一、 动态规划解法
根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
1. 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
2. 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};
3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
(1) 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
(2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
4. 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
5. 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
(1) 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m);
(2) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：
- f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
- f(n, m)=f(n, n); (n<m)
- 1+ f(n, m-1); (n=m)
- f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)
据此我们获得了动态规划的代码：
1: #include<iostream>
2:
3: using namespacestd;
4:
5: int equationCount(intn,intm)
6: {
7: if(n==1||m==1)
8: return 1;
9: else if(n<m)
10: return equationCount(n,n);
11: else if(n==m)
12: return 1+equationCount(n,n-1);
13: else
14: return equationCount(n,m-1)+equationCount(n-m,m);
15: }
16:
17: int main(void)
18: {
19: in tn;
20: while(scanf("%d",&n)!=EOF&&(n>=1&&n<=120))
21: {
22: printf("%d
",equationCount(n,n));
23: }
24: return 0;
25: }
几个变种：
（一）要求1,2,3,4..,m中每个数只允许使用一次的时？
此时我们需要调整我们的状态转换公式。
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为：f(n-m,m-1)+f(n,m-1); (n>m)
为什呢？因为每个数最多使用一次，f(n-m,m-1)表示我们取了数m，f(n,m-1)表示我们没取，但是无论取不取数m我们以后都不会再次取数m了。
当然喽，我们还需要调整边界状态：当m=1时，f(n,m)=1；当n=1而m>1时，f(n,m)=0。
其他不变！
（二）要求只能取1,2,3,4,..,m中的奇数？（默认m为奇数，如果不是则m=m-1）
这个呢，我们首先需要调整边界状态：当m=1时，f(n,m)=1；当n=1而m>1时，f(n,m)=0
其次，我们需要调整状态转换公式：
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为：f(n-m,m)+f(n,m-2); (n>m)
这是因为我们不能取偶数，故而当m为奇数的时候，m-1为偶数（只能被选择0次），f(n,m-1)=f(n,m-2);
（三）要求我们所取的 （n=m1+m2+...+mi ）中 m1 m2 ... mi连续，比如5=1+4就不符合要求了。
这个的话，需要做一下转换，留待下一篇文章说明
注意，一般而言动态规划算法是用非递归从下往上计算的，上述代码采用递归形式只是为了便于理解，真正实现的话最好采用非递归形式。