直线算法

DDA画线算法

一.算法介绍

DDA是一种增量算法，也就是说通过对前一个点在X和Y轴方向上加上一个增量，从而得到一个新点得坐标。这个算法要求先算出直线的斜率,然后从起点开始，确定最佳逼近于直线

的y坐标。假设起点的坐标为整数，直线方程为y=kx+b,k的取值在0到1之间，x每递增1，y相应地递增k。因为像素的坐标是整数，所以y需要进行取整处理。对新坐标行四舍五入得到

整型y值，确定一个要渲染得像素点。从而画出一条直线。

二.算法解析：

当 | k | <= 1时：

已知过端点 P₀(x₀, y₀)，P₁(x₁, y₁) 的直线段 L(P₀, P₁)；直线斜率为 k = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)。于是 y_i+1 = kx_i+1 + b。

1.x每递增1，y相应地递增k，每次计算点的坐标，我只需要x+1，y+k就行了，避免了乘除，而只有加减。

 　　　　　　　　　　↓

2.通过增量得到下一个点后，可知此坐标肯定会与实际像素点有偏差（实际的直线并不是和像素点完全重合的）。所以采取四舍五入得方式来平衡差值，但是

C/C++中取整是直接舍去小数值，所以采取加上0.5再取整，即int(y+0.5)。从而达到一个四舍五入的目的。

当 | k | > 1时：

若仍然使 k = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)，则会导致斜率大于1。从而在x递增1的时候y可能会出现递增大于1的数，使得像素点不相邻，直线不连续，出现断点的情况。

此时应令k = (x₁ - x₀) / (y1 - y0)，然后执行y+1，x+k 。最后再对x四舍五入int(x+0.5)。

三、代码

// 数值微分法，伪代码。通过此代码可理解算法的基本思路

当 | k | <= 1时：

当 | k | > 1时：

综上可得：

中点画线算法

　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

引用这2个图是因为实际像素为图1，图2中为了方便算法的描绘，采用像素中心来代替整个像素点。所以不要单纯由图2产生错误理解，要联系实际的物理分布。

一、算法介绍

这里的中点指的是直线与虚拟网格交点Q的上下像素点的连线中点M。将M与Q点进行比较，若Q与M重合或者在M之下，则渲染P1点。else,渲染上方

的P2点。从而渲染出一条直线。

二、算法解析

1.设坐标的单位为1，斜率k<1，起点和终点为 (x0, y0)和(x1, y1)，则F(x, y) = ax + by + c， 其中a = y0 - y1， b = x1 - x0，c = x0y1 - x1y0

（a,b,c是如何得到的？）

解：

已知直线上两点求直线的一般式方程 

已知直线上的两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)， P1 P2两点不重合。

对于AX+BY+C=0：

当x1=x2时，直线方程为x-x1=0

当y1=y2时，直线方程为y-y1=0

当x1≠x2，y1≠y2时，直线的斜率k = (y2-y1) / (x2-x1)

故直线方程为y-y1 = (y2-y1) / (x2-x1) × (x-x1)

即x2y-x1y-x2y1+x1y1 = (y2-y1)x - x1(y2-y1)

即(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1(y2-y1)+(x2-x1)y1=0

即(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0 ①

可以发现，当x1=x2或y1=y2时，①式仍然成立。所以直线AX+BY+C=0的一般式方程就是：

A = Y2 - Y1

B = X1 - X2

C = X2*Y1 - X1*Y2

 

2.算法流程

当 | k | <= 1时

对于直线上的点，F(x, y) = 0；直线上方的点，F(x, y) > 0；直线下方的点，F(x, y) < 0.  因此，判断M在Q的上方还是下方，只需将M点带入方程计算判别式：

d = F(M) = F(xp + 1, yp + 0.5) = a(xp + 1) + b(yp + 0.5) + c（下一个点x轴加1，y轴取中点所以加0.5）

 　　　　　　　　　　　　↓

当d >= 0时，取正右方像素p1也就是取直线下方的点。（此处易产生误解，要记住代入的是中点，F(M)>=0说明中点在直线之上或在直线上所以取靠近直线的点，也就是下方的点）

在这种情况下欲判断再下一个像素应取哪个，应计算：d1 = F(xp +1 + 1, yp + 0.5) = a(xp + 1 + 1) + b(yp + 0.5) + c  = d + a，故增量为a。

解释：要渲染的点是直线下方的点，也就是(xp + 1, yp)，所以再下一个中点仍然是(xp + 1 +1, yp + 0.5)。只要d>=0则中点y值不改变。

 　　　　　　　　　　　　↓

当d<0时，此时则取右上方的像素p2，这种情况下要判断再下一个像素，则应该计算：

d2 = F(xp +1 + 1, yp + 1 + 0.5) = a(xp + 1 + 1) + b(yp + 1 + 0.5) + c  = d + a + b，d的增量为 a + b。

解释：下一个点的坐标是(xp + 1, yp + 1)，再下一个中点是(xp + 1 +1, yp + 1 + 0.5)，只要d<0则中点y值+1。

　　　　　　　　　　　　↓

d的初始值，第一个像素应取左端点(x0, y0)，相应的判别式为：d0 =F(x0 + 1, y0 + 0.5) = a(x0 + 1) + b(yp + 0.5) + c=  ax0 + by0 + c + a + 0.5b= F(x0, y0) + a + 0.5b

由于(x0, y0)在直线上，所以F(x0, y0) = 0，因此，d的初始值为a + 0.5b。d的初始值包含小数，因此可以用2d来代替d。

解释：为何要用2d代替d？这是为了来摆脱浮点运算，只进行整数的加法，相比于DDA算法进一步提高了效率。而d只是用来比较正负，所以乘以倍数不会改变符号。

 

当 | k | > 1时

方法与DDA同理

 

三、代码

以下代码为|k|<=1时，只包含整数运算的方法：

void MidPointLine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color)

{

  　　 int a, b, delta1, delta2, d, x, y;

 　　  a = y0 - y1;

  　　 b = x1 - x0;

  　　 d = 2 * a + b;　　　　　　//求d的初值

  　　 delta1 = 2 * a;

 　　  delta2 = 2 * (a + b);　　　//两种不同情况下的增量

  　　 x = x0;

 　　  y = y0;

  　　 DrawPixel(x, y, color);

 　　  while (x < x1)

  　　 {

  　　   　　 if (d < 0)

    　　　　  {

     　　　　      ++x;　　　　　　//取右上方的点

      　　　　     ++y;

     　　　　      d += delta2;

 　　　　     }

  　　　　   else

    　　　　  {

      　　　　     ++x;　　　　　　//取正右方的点

       　　　　    d += delta1;

    　　　　  }

    　　　　  DrawPixel(x, y, color);

 　　  }

}

 

 

Bresenham画线算法

一、算法介绍

该算法是通过各行、各列像素中心构造一组虚拟网格线，按照直线起点到终点的顺序，计算直线与各垂直网格线的交点，然后根据误差项的符号确定该列像素点中与此交点最近的元素。

二、算法解析

y

1.如图，假设每次x + 1，而y要么不变，要么递增1，是否递增1取决于误差项d的值(如上图所示)。因为直线起始点在像素中心，所以误差项d的初始值为0，x下标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值，即d = d + k.  一旦d >= 1，将它的值减去1，使得d的值总保持在0到1之间。

当d >= 0.5时，直线与x + 1列垂直网格线交点最接近于当前像素的右上方像素点(x + 1， y + 1)，d < 0.5时则为正右方像素(x + 1, y)。

2.为了将算法也改进为整数加减，所以要进行变动。

改进1：大小判定简化到正负判定

令 e = d - 0.5，当e >= 0时 ，下一个像素值y递增1，e < 0时y不递增。此时e初始值为-0.5。每走一步e=e+k，当渲染后需再次对e进行判定，以保证其相对区间。

当e>0时，e=e-1。（此处-1操作会产生误解，可以转换对象来看，e只是为了转换d的判别形式，所以可以直接看d。e>0与d>0.5一致，下一次取点d>1，此时d-1所以e-1）

 ↓

改进2：去除0.5这个浮点数运算

两边同乘2得：2e=2d-1，2e=2e+2k

↓

改进3：去除求斜率k=dy/dx的除法运算

两边再同乘dx得：2dx*e = 2dx*d - dx，2dx*e = 2dx*e + 2dx*k = 2dx*e + 2dy。令e=2dx*e得，e=e-dx，e=e+2dy。同理，在e>0时执行的e=e-1变为e=e-2dx。

↓

结果：初始值d=0，化简上式可得 ①e₀ = -dx   ②e = e + 2dy ③e=e-2dx

最后总结一下具体步骤：

1.输入直线的两个端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)

2.计算初始值Δx、Δy、e=-Δx、x=x0,y=y0

3.绘制点(x,y)

4.e更新为e+2Δy，判断e的符号，若e>0，则（x,y）更新为（x+1,y+1），同时将e更新为e-2Δx;else 将（x,y) 更新为（x+1,y）

5.当直线没有画完时，重复3和4，否则结束。

三、代码

//伪代码如下

void Bresenham(int x0, int y0, int x1, int y1, int color)

{

   int x, y, dx, dy;

   float k, e;

   dx = x1 - x0;

   dy = y1 - y0;

   e = -dx

   x = x0;

   y = y0;

   for (int i = 0; i <= dx; ++i)

   {

      DrawPixel(x, y, color);

      x += 1;

      e = e + 2 * dy;

      if (e >= 0)　　 // 伪代码，实际比较浮点数不这样进行比较

      {

          y += 1;

          e = e - 2 * dx;

      }

   }

}

 

三种算法的对比

一、DDA

采用的是浮点数运算，不易于硬件实现。

二、中点画线算法

只有整数运算，不含乘除，可用硬件实现。相对于DDA提高了效率

三、Bresenham算法

1.在渲染点的循环中没有计算直线的斜率，不用做除法。

2.不用浮点数，只做整数加法和乘2运算，乘2运算可用硬件位移实现。

3.应用范围不拘束于直线的方程形式

4.Bresenham算法”其实“比较像数值微分法，也是增量算法，但是相对来说更利于硬件实现。

 

四、总结

中点画线算法比DDA效率更高，Bresenham算法比中点画线算法的应用范围更广。