BZOJ1096 [ZJOI2007] 仓库建设

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1096

Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

第二道斜率优化DP

s[i] 为 p[i] 的前缀和，b[i] 为 x[i] * p[i] 的前缀和，那么f[i] = min{ f[j] + c[i] + ( s[i] - s[j] ) * x[i] - ( b[i] - b[j] ) } ( j < i )

若 f[j] 优于 f[k] 且 j > k，移项整理得 f[j] - f[k] + b[j] - b[k] <= x[i] ( s[j] - s[k] )

把 ( s[j] - s[k] ) 移到左边，斜率单调递增，维护一个下凸函数

避开double和除法运算可以快一点

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define rep(i,l,r) for(int i=l; i<=r; i++)
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define travel(x) for(Edge *p=last[x]; p; p=p->pre)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1000010;
inline ll read(){
    ll ans = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    for(; !isdigit(c); c = getchar())
    if (c == '-') f = -1;
    for(; isdigit(c); c = getchar())
    ans = ans * 10 + c - '0';
    return ans * f;
}
ll n,now,head,tail,x[maxn],p[maxn],c[maxn],s[maxn],b[maxn],f[maxn],q[maxn];
inline ll Up(int j,int k){
    return f[j] - f[k] + b[j] - b[k];
}
inline ll Down(int j,int k){
    return s[j] - s[k];
}
int main(){
    n = read();
    rep(i,1,n) x[i] = read(), p[i] = read(), c[i] = read();
    rep(i,1,n) s[i] = s[i-1] + p[i], b[i] = b[i-1] + p[i] * x[i];
    f[0] = q[0] = head = tail = 0;
    rep(i,1,n){
        while (head < tail && Up(q[head+1],q[head]) <= x[i] * Down(q[head+1],q[head])) head++;
        f[i] = f[q[head]] + c[i] + (s[i] - s[q[head]]) * x[i] - (b[i] - b[q[head]]);
        while (head < tail && Up(q[tail],q[tail-1]) * Down(i,q[tail]) >= Up(i,q[tail]) * Down(q[tail],q[tail-1])) tail--;
        q[++tail] = i;
    }
    printf("%lld
",f[n]);
    return 0;
}