数字统计问题

1. 
     一本书的页码从自然数1开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如第6页用6表示而不是06或006。数字统计问题要求对给定书的总页码，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0,1,2,3,.....9。

 思路：对于n位数，例如3位数，000-999，出现0,1,2...9的次数相同，记每个数字出现的次数为avg，这10个数字出现的总次数为sum=10*avg。

         而n位数共有10^n个数，每个具体的数对于sum的贡献为n次。

        得到：10*avg=n*10^n，

        解出   avg=n*10^（n-1）。  

2.

比如，对于一个数字34567，我们可以这样来计算从1到34567之间所有数字中每个数字出现的次数：
从0到9999，这个区间的每个数字的出现次数可以使用原著中给出的递推公式，即每个数字出现4000次。

从10000到19999，中间除去万位的1不算，又是一个从0000到9999的排列，这样的话，从0到34567之间

的这样的区间共有3个。所以从00000到29999之间除万位外每个数字出现次数为3*4000次。然后再统计

万位数字，每个区间长度为10000，所以0,1,2在万位上各出现10000次。而3则出现4567+1=4568次。

之后，抛掉万位数字，对于4567，再使用上面的方法计算，一直计算到个位即可。

3.

// advance example
#include <iostream>     // std::cout
#include <iterator>     // std::advance
#include <list>         // std::list
#include <cmath>

 void statNumber(int n) {
    int m, i, j, k, t, x, len = (int)log10(double(n));//*****调用函数求数字位数，机智 ***** 
    char d[16];
    int pow10[12] = {1}, count[10] = {0};
   // cout<<pow10[2]<<endl; 
    for(i = 1; i < 12; i++) {
    pow10[i] = pow10[i-1] * 10;
    }
    sprintf(d, "%d", n);//example:n=9876,   d[0]=9,d[1]=8,d[2]=7,d[3]=6,d[4..15]=[]
   for( i=0;i<5;++i)
   { 
    putchar(d[i]);
    putchar('
');
}
    m = n+1;//!!!
    for(i = 0; i <= len; i++) {
    x = d[i] - '0';
    t = (m-1) / pow10[len-i]; 
    
    count[x] += m - t * pow10[len-i]; 
    
    t /= 10;
    j = 0;
    while(j <= x-1) {
        count[j] += (t + 1) * pow10[len-i];
        j++;
    }
    while(j < 10) {
        count[j] += t * pow10[len - i];
        j++;
    }
    count[0] -= pow10[len-i]; /* 第i个数位上前10^i个0是无意义的 */
    }
    std::cout<<"number"<<"    "<<"count"<<std::endl;
    for(j = 0; j < 10; j++) {
    std::cout<<j<<"    ";
    printf("     %d
", count[j]);
    }
}
int main()
{
    int a=1211;
    std::cout<<"the number of pages is:"<<a<<std::endl;
    
    statNumber(a);
    system("PAUSE");
    return 1; 
    
    } 

4.结果与分析

本算法循环次数=数字位数，对于问题规模N，循环次数m=log10（N），故而复杂性函数T=O(log10(N))。

5.发散与联想

推广1：___________

推广2：___________

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