研究无穷级数关心的问题:到底能不能收敛成一个数?本质是研究数列的收敛性
常数项级数
- 本质是数列,如研究{xn}的极限存在问题等于研究sum{xn-xn-1}这个级数的收敛性问题
- 满足线性运算法则:一堆收敛的经过线性运算之后仍然收敛
- 对于收敛级数,存在结合律(将级数任意加括号后形成的新级数仍收敛于原级数之和)(证明提示:单调数列收敛,其子数列收敛)
必要条件:lim un -> 0
- 第一眼看这个,如果这个都不满足,那一定不收敛。
- 就是说正向级数如果是单增的那一定就不收敛(要么极限不存在要么不为0)
重要级数
- egin{equation*} sum ^{infty }_{n=1} frac{1}{n^{p}} end{equation*}
- p=1的时候是
egin{gather*} sum ^{infty }_{n=1}frac{1}{ n} end{gather*},lnx的导数就是1/x,所以这个级数是类似于ln(n)的,而 egin{gather*}lim _{x ightarrow infty } ln x=infty end{gather*} ,所以可以知道此时该级数不是一个数。
然后p<1的时候它更大所以肯定也不是一个数
p>1时收敛(待填坑)
- egin{gather*} sum ^{infty }_{n=0} a_{n} q^{n} end{gather*}
等比数列,q<1时收敛
正项级数判断收敛
比较审敛
- 大的收,小的一定收 证明:单调有界定理
- 小的发散,大的一定发散 证明:如果大的收敛,由上小的收敛,矛盾
比值审敛
egin{equation*} lim _{n ightarrow infty } frac{a_{n}}{a_{n-1}} < 1 end{equation*}- 用等比数列证,总能有一个公比>上面的极限,然后就相当于每次乘以那个公比,然后那个公比的级数都收敛,这个比它小的肯定也收敛
开根
egin{equation*} lim _{n ightarrow infty } sqrt[n]{a_{n}} < 1 end{equation*}- 还是用等比数列,乘方n了之后相当于是那个小于一的数的n次方,用一个比它极限大的公比q可证
交错级数判断收敛
egin{gather*} sum ^{infty }_{n=1} ( -1)^{n} a_{n} (其中a_{n} >0)\ 收敛条件:1.lim _{n ightarrow infty } a_{n} =0 2. a_{n} 单调不增\ 证明:(假设第一项为正)前一项减去后一项为正,整个正项级数,然后改一下\ 括号位置,可知有上界a_{1} ,所以收敛。\ end{gather*}
一般级数判断收敛
绝对值收敛,绝对收敛
egin{gather*}
如果 sum |a_{n} | 收敛,那sum a_{n} +|a_{n} |收敛(比前面的小),\
那sum a_{n} +|a_{n} |-a_{n} 收敛(线性运算法则)\
end{gather*}
绝对值不收敛但它自己收敛,条件收敛
比如说前面的交错级数,单调不增的正项级数不一定收敛,但是作为交错级数就收敛了