回溯法

回溯法

回溯法是暴力搜索法的一种，从直观的角度来看，它是建立了一颗树。但和完全的暴力法不同的是，它在求解的过程中能够对于那些不符合要求的节点及时的剪枝，“回溯”回去。
在建立这颗树的过程当中，控制好递归当中循环的细节、退出的条件、添加哪些节点的值是至关重要的。不同的方法得到的树不同，结果也不同。

下面是一些leetcode的题目，可以帮助更好的理解回溯法。

leetcode22： 括号生成

给出 n 代表生成括号的对数，请你写出一个函数，使其能够生成所有可能的并且有效的括号组合。

例如，给出 n = 3，生成结果为：

[
"((()))",
"(()())",
"(())()",
"()(())",
"()()()"
]

代码如下：

class Solution(object):
    def generateParenthesis(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: List[str]
        """
        results = []
        self.generate_helper(results, '', 0, 0, n)
        return results

    def generate_helper(self, results, str, open, close, max):
        if len(str) == 2 * max:
            results.append(str)
            return

        if open < max:
            self.generate_helper(results, str+'(', open+1, close, max)
        if close < open:
            self.generate_helper(results, str+')', open, close+1, max)

图片描述：

分析：递归的时候左括号总是在右括号前面，而且右括号的数量不得多于左括号，递归结束的条件是括号长度等于预定的长度。

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leetcode39 组合总和

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：
所有数字（包括 target）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例1：

输入: candidates = [2,3,6,7], target = 7,
所求解集为:
[
  [7],
  [2,2,3]
]

示例2:

输入: candidates = [2,3,5], target = 8,
所求解集为:
[
  [2,2,2,2],
  [2,3,3],
  [3,5]
]

代码如下：

class Solution(object):
    def combinationSum(self, candidates, target):
        """
        :type candidates: List[int]
        :type target: int
        :rtype: List[List[int]]
        """
        results = []
        candidates.sort()
        self.dfs(candidates, target, 0, [], results)
        return results
    def dfs(self, candidates, target, index, result, results):
        if target < 0:
            return
        if target == 0:
            results.append(result)
            return
        for i in range(index, len(candidates)):
            self.dfs(candidates, target-candidates[i], i,result+[candidates[i]], results)
            # 在这里使用result+[candidates[i]]，而不是使用append。
            # +产生了一个新的对象，而append是在原有的对象上面进行更新。
            # 如果要使用append，那么当这一步运行完以后，还需要把添加的值pop出来（相当于回溯），
            # 另外程序16行要修改为results.append(result.copy())。
            # 我的程序均使用第一种方法。	

图片描述：

分析：树的左侧节点值明显要比右侧节点值多，也就是树向左偏，这是由递归过程中的for循环来决定的，确切的是由传入的i的值决定的。

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leetcode40 组合总和II

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

说明：
所有数字（包括目标数）都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
所求解集为:
[
  [1,7],
  [1, 2, 5],
  [2, 6],
  [1, 1, 6]
]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
所求解集为:
[
  [1,2,2],
  [5]
]

代码如下：

class Solution:
    def combinationSum2(self, candidates, target):
        """
        :type candidates: List[int]
        :type target: int
        :rtype: List[List[int]]
        """
        candidates.sort()
        results = []
        self.dfs(candidates, target, 0, [], results)
        return results

    def dfs(self, candidates, target, index, result, results):
        if target <0:
            return
        if target == 0:
            results.append(result)
            return
        for i in range(index, len(candidates)):
            if i > index and candidates[i] == candidates[i-1]:
                continue
            self.dfs(candidates, target-candidates[i], i+1, result+[candidates[i]], results)

图片描述：

分析：可以看出和上一题相比，在递归循环的里面有两个不同，第一个不同是：使用continue来处理重复值的情况，当第二次出现的值和第一次出现的值相同的时候，由于在第一次已经处理过了，所有以后会直接跳过。另外一点不同的是递归传入的值由i变成了i+1，这可以在两张图里面看出来，比如第一张图2下面的节点是2,3,6,7，而第二张图的节点是3,6,7，是因为i的值多增加一位的缘故。

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leetcode 46：全排列

给定一个没有重复数字的序列，返回其所有可能的全排列。

示例:

输入: [1,2,3]
输出:
[
  [1,2,3],
  [1,3,2],
  [2,1,3],
  [2,3,1],
  [3,1,2],
  [3,2,1]
]

代码如下：

class Solution(object):
    def permute(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: List[List[int]]
        """
        results = []
        self.dfs(nums, [], results)
        return results
    
    def dfs(self, nums, result, results):
        if len(nums) == 0:
            results.append(result)
            return
        for i in range(len(nums)):
            self.dfs(nums[:i]+nums[i+1:], result+[nums[i]], results)

图片描述：

分析：树的左侧节点和右侧节点的值一样多，保存的是树的叶子节点的值。

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leetcode47: 全排列(II)

给定一个可包含重复数字的序列，返回所有不重复的全排列。

示例：

输入: [1,1,2]
输出:
[
  [1,1,2],
  [1,2,1],
  [2,1,1]
]

代码如下：

class Solution(object):
    def permuteUnique(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: List[List[int]]
        """
        results = []
        nums.sort()
        self.dfs(nums, [], results)
        return results

    def dfs(self, nums, result, results):
        if len(nums) == 0:
            results.append(result)
            return
        for i in range(len(nums)):
            if i > 0 and nums[i] == nums[i-1]:
                continue
            self.dfs(nums[:i]+nums[i+1:], result+[nums[i]], results)

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leetcode78 子集

给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例:

输入: nums = [1,2,3]
输出:
[
  [3],
  [1],
  [2],
  [1,2,3],
  [1,3],
  [2,3],
  [1,2],
  []
]

代码：

class Solution:
    def subsets(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: List[List[int]]
        """
        results = []
        self.dfs(nums, 0, [], results)
        return results
        
    def dfs(self, nums, index, result, results):
        if index == len(nums):
            results.append(result)
            return
        results.append(result)
        for i in range(index, len(nums)):
            self.dfs(nums, i+1, result+[nums[i]], results)

图片描述：

分析：在这道题当中，results当中保存所有节点的值，而不仅仅是叶子节点的值。

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leetcode90 子集II

给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例:

输入: [1,2,2]
输出:
[
  [2],
  [1],
  [1,2,2],
  [2,2],
  [1,2],
  []
]

代码如下：

class Solution:
    def subsetsWithDup(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: List[List[int]]
        """
        nums.sort()
        results = []
        self.dfs(nums, 0, [], results)
        return results
        
    def dfs(self, nums, index, result, results):
        if index == len(nums):
            results.append(result)
            return
        results.append(result)
        for i in range(index, len(nums)):
            if i > index and nums[i] == nums[i-1]:
                continue
            self.dfs(nums, i+1, result+[nums[i]], results)

分析：和上一道题不同之处在于使用continue机制来处理重复的值。